2014届高考数学二轮专题突破辅导与测试 第1部分 专题七 第一讲 坐标系与参数方程课件课件 文解析

第一讲坐标系与参数方程选修4－4极坐标与参数方程的综合应用参数方程及其应用坐标系与参数方程是新课标选考内容之一，高考对本讲内容的考查主要有：(1)直线与圆的极坐标方程以及极坐标与直角坐标系的互化，如2013年广东T14,2013年新课标全国卷ⅠT23.(2)直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.极坐标方程及其应用考情考点1．(2013·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程．解：由ρ＝2cosθ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2.2．(2013·湖南高考改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解：由直线l的参数方程x＝t，y＝t－a消去t得直线l的一般方程为y＝x－a，由椭圆参数方程得x29＋y24＝1，右顶点为(3,0)，又因为直线l过椭圆的右顶点，所以3－a＝0，即a＝3.3．(2013·广东高考改编)已知曲线C的参数方程为x＝2cost，y＝2sint(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．解：曲线C的普通方程为x2＋y2＝(2cost)2＋(2sint)2＝2(cos2t＋sin2t)＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l，从而l的斜率为－1，由点斜式可得直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入直线l的方程可得l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－2＝0.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.5．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为2，π4，直线l的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为x＝1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A2，π4在直线ρcosθ－π4＝a上，可得a＝2.所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，因为圆心C到直线l的距离d＝12＝221，所以直线l与圆C相交．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.2．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；(3)当圆心位于Ma，π2，半径为a：ρ＝2asinθ.3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.4．几种常见曲线的参数方程(1)圆以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为x＝rcosα，y＝rsinα，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程是x＝acosφ，y＝bsinφ，其中φ是参数．椭圆x2b2＋y2a2＝1(ab0)的参数方程是x＝bcosφ，y＝asinφ，其中φ是参数．(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，其中t是参数．极坐标方程及其应用[例1](1)(2013·北京高考改编)在极坐标系中，求点2，π6到直线ρsinθ＝2的距离．(2)已知点P(1＋cosα，sinα)，参数α∈[0，π]，点Q在曲线C：ρ＝92sinθ＋π4上．①求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；②求点P与点Q之间距离的最小值．[自主解答](1)极坐标系中点2，π6对应的直角坐标为(3，1)，直线ρsinθ＝2对应的直线方程为y＝2，所以点到直线的距离为1.(2)①由x＝1＋cosα，y＝sinα，消去α，得点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又由ρ＝92sinθ＋π4，得ρ＝9sinθ＋cosθ，所以ρsinθ＋ρcosθ＝9.所以曲线C的直角坐标方程为x＋y＝9.②因为半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的圆心(1,0)到直线x＋y＝9的距离为42，所以|PQ|min＝42－1.——————————规律·总结————————————研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及到角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大方便．———————————————————————————1．在极坐标系Ox中，已知点A1，α2，B1，－α20απ2，求过AB的中点，且与OA垂直的直线的极坐标方程．解：设AB的中点为C，则|OC|＝cosα2，过C作CD⊥OA于D.则|OD|＝|OC|·cosα2＝cos2α2.设M(ρ，θ)是直线CD上的任意一点，则∠MOD＝θ－α2，在△MOD中，|OD|＝|OM|cosθ－α2，即cos2α2＝ρcosθ－α2，所以直线CD的极坐标方程为cos2α2＝ρcosθ－α2.参数方程及其应用[例2](2013·郑州模拟)已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，曲线C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？[自主解答](1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，12，－32.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0，A点坐标为(sin2α，－sinαcosα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα(α为参数)，P点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116，故P点的轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．——————————规律·总结————————————在解答参数方程的有关问题时常用的方法(1)将参数方程化为普通方程，再利用相关知识解决，注意消参后x，y的取值范围．(2)观察参数方程有什么几何意义，利用参数的几何意义解题．——————————————————————————2．已知直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t－2(t为参数)，P是椭圆x24＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．解：由于直线l的参数方程为x＝4－2t，y＝t－2(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0.因为P为椭圆x24＋y2＝1上的任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R.因此点P到直线l的距离是d＝|2cosθ＋2sinθ|12＋22＝22sinθ＋π45，所以当θ＝kπ＋π4，k∈Z时，d取得最大值2105.[例3](2013·辽宁高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π4＝22.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为x＝t3＋a，y＝b2t3＋1(t∈R为参数)，求a，b的值．极坐标方程与参数方程的综合应用[自主解答](1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解x2＋y－22＝4，x＋y－4＝0，得x1＝0，y1＝4，x2＝2，y2＝2.所以C1与C2交点的极坐标为4，π2，22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝b2x－ab2＋1.所以b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a＝－1，b＝2.——————————规律·总结————————————对于同时含有极坐标方程和参数方程的题目，可先同时将它们转化为直角坐标方程求解．———————————————————————————3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝42.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解：(1)对于曲线C1有x3＝cosα，y＝sinα⇒x32＋y2＝cos2α＋sin2α＝1.即C1的普通方程为x23＋y2＝1.对于曲线C2有ρsinθ＋π4＝22ρ(cosθ＋sinθ)＝42⇒ρcosθ＋ρsinθ＝8⇒x＋y－8＝0，所以C2的直角坐标方程为x＋y－8＝0.(2)显然椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上点P(3cosα，sinα)到直线x＋y－8＝0的距离为d＝|3cosα＋sinα－8|2＝2sinα＋π3－82，当sinα＋π3＝1时，d取最小值为32，此时点P的坐标为32，12.