2018届高中数学必修(人教版)抛物线课件

§8.3抛物线基础知识自主学习要点梳理1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）的距离的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.相等焦点准线2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx对称轴y=0x=0焦点离心率e=1准线方程范围开口方向向右向左向上向下焦半径0,2pF0,2pF2,0pF2,0pF2px2px2py2pyR,0yxR,0yxR,0xyR,0xy20pxPF20pxPF20pyPF20pyPF基础自测1.抛物线y=-2x2的准线方程是（）A.x=B.x=C.y=D.y=解析抛物线方程为x2=-y,∴p=,准线方程为y=.21218181D2141812.若a∈R,则“a＞3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的抛物线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由抛物线y2=(a2-9)x开口向右可得a2-9＞0，即得a＞3或a＜-3,∴“a＞3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件，故应选A.A3.（2009·湖南）抛物线y2=-8x的焦点坐标是（）A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)解析∵y2=-8x,∴p=-4,∴焦点坐标为(-2,0).B4.设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（）A.(a,0)B.(0,a)C.D.随a的符号而定解析抛物线标准方程为x2=y,当a＞0时，p=，焦点坐标为;当a＜0时，p=-，焦点坐标为a161,0Ca41a81a161,0a81.161,0a5.（2009·宁夏，海南）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2，2）,则直线l的方程为.解析因为抛物线顶点在原点，焦点F（1，0），故抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),则y=4x1,y=4x2.∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),∴kAB==1,∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x.y=x2122214yy题型一抛物线的定义【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2）.（1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；（2）求点P到点B的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.1,2121题型分类深度剖析（1）由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d的问题.（2）把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决.解（1）将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.思维启迪6∵＞2,∴A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=2x，得x=2,∴点P坐标为（2，2）.（2）由于直线x=-即为抛物线的准线，故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|，当且仅当B、P、F共线时取等号.而|BF|=∴|PB|+d的最小值为.6212727212.21212122探究提高重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设P是曲线y2=4x上的一个动点.（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），点F是抛物线的焦点，求|PB|+|PF|的最小值.知能迁移1解（1）如图所示，易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1，由抛物线的定义知：点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为：在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小.显然,连结AF交曲线于P点，故最小值为，即.1225（2）如图所示，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，连接P1F此时，|P1Q|=|P1F|，那么，|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即最小值为4.题型二抛物线的标准方程及几何性质【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.因点A（m,-3）在直线y=-3上，所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论.思维启迪解①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py(p＞0)，这时准线方程为y=,由抛物线定义知-(-3)=5,解得p=4,∴抛物线方程为x2=-8y,这时将点A（m,-3）代入方程，得m=±2.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax(a≠0)，从p=|a|知准线方程可统一成x=-的形式，于是从题设有解此方程组可得四组解2p2p62a,9252amma∴y2=2x,m=;y2=-2x,m=-;y2=18x,m=;y2=-18x,m=-..219,219,291,29144332211mamamama29292121探究提高抛物线的标准方程有四种，在求解过程中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式,若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x2=ay(a≠0)或y2=ax(a≠0),然后利用待定系数法和已知条件求解.根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；（2）过点P（2，-4）.知能迁移2解（1）双曲线方程化为左顶点为（-3，0）,由题意设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)且-=-3,∴p=6，∴方程为y2=-12x.（2）由于P（2，-4）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny,代入P点坐标求得m=8，n=-1，∴所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.,116922yx2p题型三直线与抛物线的位置关系【例3】(14分)（2008·山东）如图所示,设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4.求此时抛物线的方程.10(1)证明由题意设x1＜x2,M（x0,-2p）.由x2=2py得y=,则y′=,所以kMA=,kMB=.[2分]因此,直线MA的方程为y+2p=(x-x0),直线MB的方程为y+2p=(x-x0).所以,①②[4分],2,,2,222211pxxBpxxApx22pxpx1px2px1px2),(2201121xxpxppx),(2202222xxpxppx解题示范由①、②得=x1+x2-x0，因此，x0=即2x0=x1+x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.[6分]（2）解由（1）知，当x0=2时，将其代入①、②，并整理得：x-4x1-4p2=0，x-4x2-4p2=0，所以，x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根，[8分]因此，x1+x2=4，x1x2=-4p2，又kAB=221xx,221xx2122,222021122122pxpxxxxpxpx所以kAB=.[10分]由弦长公式得|AB|=又|AB|=4，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.[14分]p22122124)(1xxxxk.16164122pp10探究提高（1）标准形式的抛物线上点一般设高次项变量，如本题设抛物线上点的坐标为形式，就减少了变量，使运算量减小；（2）处理多个变量问题时，常常应用整体代换技巧，消去变量；（3）利用韦达定理简化两点间距离公式是直线与圆锥曲线弦长问题常用的运算技巧.pxx2,2知能迁移3已知动圆过定点F（0，2），且与定直线L：y=-2相切.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.（1）解依题意，圆心的轨迹是以F（0,2）为焦点，L：y=-2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x2=8y.（2）证明因为直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2).由可得x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16.抛物线方程为y=x2,求导得y′=x.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=x1,k2=x2,k1k2=x1·x2=x1·x2=-1.所以AQ⊥BQ.,81,22xykxy814141414141161方法与技巧1.焦半径：x0+;通径长为2p.注：过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径.2.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则(1)y1y2=-p2，x1x2=；(2)若直线AB的倾斜角为,则|AB|=；(3)若F为抛物线焦点，则有2p42p2sin2p.211pBFAF思想方法感悟提高失误与防范1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题.一、选择题1.过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于（）A.B.C.2aD.解析取通径AB，则m=n=,故定时检测nmmna21a414aBa21.41anmmn2.已知点M（1，0），直线l:x=-1,点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（）A.抛物线B.椭圆C.双曲线的一支D.直线解析P在BM的垂直平分线上，故|PB|=|PM|.又PB⊥l,因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线.A3.如图，过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3,则此抛物线的方程为（）A.y2=B.y2=3xC.y2=D.y2=9xx23x29解析由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|=2|BF|得∠BCM=30°，又|AF|=3，从而A在抛物线上，代入抛物线方程y2=2px,解得p=.答案B,233,232pA234.已知抛物线y2=2px(p＞0)与双曲线（a＞0,b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A.B.+1C.+1D.12222byax321522122解析∵F又∵c=，即p=2c,∴A（c，2c）.代入双曲线方程，化简，∴e2-2e-1=0.∵e＞1，∴e=+1.答案B.,2,0,2ppAp2p25.（2009·山东）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析y2=ax的焦点坐标为,过焦点且斜率为2的直线方程为y=2，令x=0得y=-.∴∴a2=64,∴a=±8