2014高考调研理科数学课本讲解_9-7 双曲线(一)

课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研第7课时双曲线(一)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2013•考纲下载1．掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程．2.掌握双曲线的几何性质．3.了解双曲线的一些实际应用.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研请注意！除与椭圆有类同的重点及考点之外，在高考中还经常考察双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值的点的轨迹叫做双曲线．等于常数2a(2a|F1F2|)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研焦点..焦距..范围..对称性.顶点..轴.离心率.性质渐近线..F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2cc2＝a2＋b2|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R关于x轴、y轴和原点对称(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)实轴长2a，虚轴长2be＝ca(e1)xa±yb＝0(或y＝±bax)xb±ya＝0(或y＝±abx)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研3．归纳拓展(1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．(2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两端点构成的三角形)研究它们之间的相互关系．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)共焦点的圆锥曲线方程为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1(λa2，且λ≠－b2)．(5)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与y2b2－x2a2＝1(a0，b0)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(6)双曲线形状与e的关系：k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．(7)焦点三角形△PF1F2的面积：S△PF1F2＝b2·cotθ2(∠F1PF2＝θ，b为虚半轴长)．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研1．(2012·福建)已知双曲线x2a2－y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.43答案C解析由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝ca＝32.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研2．(2013·郑州质检)设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝()A．8B．6C．4D．2答案A解析依题意有3|PF1|＝4|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2×1解得|PF2|＝6，|PF1|＝8，故选A.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研3．(2013·北京东城区)若双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝()A.3B．2C．3D．6答案A课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研解析双曲线x26－y23＝1的渐近线方程为y＝±22x，因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，故圆心(3,0)到直线y＝±22x的距离等于圆的半径r，则r＝|2×3±2×0|2＋4＝3.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研4．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为()A.45B.54C.35D.53答案D课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研解析设PF1的中点为M，连接F2M，由题意知|F1F2|＝|PF2|＝2c，则F2M⊥PF1，所以|MF2|即为点F2到直线PF1的距离，故|MF2|＝2a.由双曲线的定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝2a＋2c，从而|F1M|＝a＋c.故可得(2c)2＝(a＋c)2＋(2a)2，得e＝ca＝53(负值舍去)．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研5．设P为双曲线x2－y212＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2＝________.答案π2课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研解析由题可知，F1(－13，0)，F2(13，0)，|F1F2|＝213.设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为12×213|y0|＝12，故y20＝12213，将P点坐标代入双曲线方程得x20＝2513，不妨设点P(51313，121313)，则PF1→＝(－181313，－121313)，PF2→＝(81313，－121313)，可得PF1→·PF2→＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝π2.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研例1(1)在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sinB－sinC＝12sinA时，求点A的轨迹方程．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】设A的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入sinB－sinC＝12sinA，得|AC|2R－|AB|2R＝12|BC|2R.又∵|BC|＝8，∴|AC|－|AB|＝4，因此A的轨迹为以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝12.所以所求A点的轨迹方程为x24－y212＝1(x2)．【答案】x24－y212＝1(x2)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________.【解析】由条件可知|BC|－|BA|＝10，且|AC|＝12，又在△ABC中，有|BC|sinA＝|AB|sinC＝|AC|sinB＝2R，R为△ABC外接圆半径，从而sinA－sinCsinB＝|BC|－|AB||AC|＝56.【答案】56课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究1容易用错双曲线的定义，将点M的轨迹误认为是整条双曲线，从而得出方程后没有限制条件，故在使用圆锥曲线定义求动点的轨迹方程时，一定要注意定义中的限制条件，同时要结合具体问题的实际背景，对所要解决的问题做合理的限制．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研思考题1(1)已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1、C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A．x＝0B.x22－y214＝1(x≥2)C.x22－y214＝1D.x22－y214＝1或x＝0课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】如右图，动圆M与两圆C1、C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都相外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况下，设动圆M的半径为r，则课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2.故得|MC1|－|MC2|＝22；在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝22.由③④得|MC1|－|MC2|＝±22.根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线，且a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为x22－y214＝1.由①②③④可知，选择D.【答案】D课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(2)设F1、F2为曲线C1：x26＋y22＝1的焦点，P是曲线C2：x23－y2＝1与曲线C1的一个交点，则向量PF1→与PF2→的夹角的余弦值为()A.14B.13C.23D．－13课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】C1、C2共焦点F1(－2,0)，F2(2,0)，由对称性则不妨设|PF1||PF2|，有|PF1|＋|PF2|＝26，|PF1|－|PF2|＝23⇒|PF1|＝6＋3，|PF2|＝6－3.由余弦定理，得cosθ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝13.【答案】B课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研例2根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与已知双曲线x2－4y2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)；(2)渐近线方程为y＝±12x，焦距为10；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研【解析】(1)设所求双曲线方程为x2－4y2＝λ，将(2,2)代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12.∴所求双曲线方程为y23－x212＝1.(2)设所求双曲线方程为x24－y2＝λ，当λ0时，双曲线标准方程为x24λ－y2λ＝1，∴c＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；当λ0时，双曲线标准方程为y2－λ－x2－4λ＝1，课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研∴c＝－5λ.∴－5λ＝5，λ＝－5；∴所求双曲线方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1.(m，n0)∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解之得m＝－175，n＝－125.∴标准方程为y225－x275＝1.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研(4)依题意，e＝2⇒a＝b.设方程为x2a－y2a＝1，则16a－10a＝1，解得a＝6.∴x26－y26＝1.【答案】(1)y23－x212＝1(2)x220－y25＝1或y25－x220＝1(3)y225－x275＝1(4)x26－y26＝1课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·数学（理）高考调研探究2求双曲线的标准方程的方法：(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根