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天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第1页（共6页）数列的综合应用1．已知a，b∈(0，＋∞)，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()A．ab＝AGB．ab≥AGC．ab≤AGD．不能确定解析：选C.依题意A＝a＋b2，G＝ab，∴AG－ab＝a＋b2·ab－ab＝ab(a＋b2－ab)＝ab·(a－b)22≥0，∴AG≥ab.2．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是()A．1B．2C．3D．4解析：选A.根据等差、等比数列的性质，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()A．(2,4)B．(－13，－43)C．(－12，－1)D．(－1，－1)解析：选B.由S2＝10，S5＝55，得2a1＋d＝10,5a1＋10d＝55，解得a1＝3，d＝4，可知直线PQ的一个方向向量是(1,4)，只有(－13，－43)与(1,4)平行．故选B.4．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第2页（共6页）只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有()A．6只B．5只C．8只D．7只错误!解析：选A.依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列，设a1＝7，d0，Sn－1＝65－10＝55.∴有(n－1)a1＋(n－1)(n－2)2d＝55.即7(n－1)＋(n－1)(n－2)d2＝55，(n－1)[7＋(n－2)d2]＝55，∵55＝11×5且(n－1)∈Z，[7＋(n－2)d2]∈Z.∴n－1＝5，7＋n－22d＝11.∴n＝6.5．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到()A．4800元B．8000元C．9600元D．11200元解析：选B.由题意知，5天共捐款10×10＋(10×2)×(10＋5)＋(10×4)×(15＋5)＋(10×8)×(20＋5)＋(10×16)×(25＋5)＝8000(元)．6．已知{an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是()A．(－72，＋∞)B．(0，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－3，＋∞)解析：选D.∵{an}是递增数列，∴an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，∴λ＞－2n－1对于n∈N*恒成立．而－2n－1在n＝1时取得最大值－3，∴λ＞－3，故选D.7．凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n等于________．天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第3页（共6页）解析：由条件得，(n－2)×180°＝120°×n＋n(n－1)2×5°，∴n＝9或n＝16，∵a16＝120°＋(16－1)×5°＝195°180°，∴n＝16(舍去)，而a9＝160°180°，∴n＝9.答案：98．已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，12)，B(3,1)，若记an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________．解析：将A、B两点坐标代入f(x)得12＝ab21＝ab3，解得a＝18，b＝2∴f(x)＝18·2x，∴f(n)＝18·2n＝2n－3，∴an＝log2f(n)＝n－3.令an≤0，即n－3≤0，n≤3.∴数列前3项小于或等于零，故S3或S2最小．S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.答案：－39．某纺织厂的一个车间有n(n7，n∈N*)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n，该车间有技术工人n名，编号分别为1,2,3，…，n.定义记号aij，如果第i名工人操作了第j号织布机，此时规定aij＝1，否则aij＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a17＋a27＋a37＋a47＋…＋an7＝________；若a31＋a32＋a33＋a34＋…＋a3n＝2，说明________________________．解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a17，a27，a37，…，an7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴a17＋a27＋a37＋…＋an7＝1.同理，由a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝2.说明a31，a32，a33，…，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机．答案：1a31，a32，a33，…，a3n中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机10．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第4页（共6页）过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1.(2)10年出口总量S10＝a(1－0.910)1－0.9＝10a(1－0.910)．∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤81－0.910，∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．11．已知数列{an}中，a1＝12，点(n,2an＋1－an)在直线y＝x上，其中n＝1,2,3，….(1)令bn＝an＋1－an－1，求证数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项．解：(1)证明：a1＝12，2an＋1＝an＋n，∵a2＝34，a2－a1－1＝34－12－1＝－34，又bn＝an＋1－an－1，bn＋1＝an＋2－an＋1－1，∴bn＋1bn＝an＋2－an＋1－1an＋1－an－1＝an＋1＋(n＋1)2－an＋n2－1an＋1－an－1＝an＋1－an－12an＋1－an－1＝12.bn＝－34×(12)n－1＝－32×12n，∴{bn}是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)∵an＋1－an－1＝－32×12n，∴a2－a1－1＝－32×12，天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第5页（共6页）a3－a2－1＝－32×122，…∴an－an－1－1＝－32×12n－1，将以上各式相加得：∴an－a1－(n－1)＝－32(12＋122＋…＋12n－1)，∴an＝a1＋n－1－32×12(1－12n－1)1－12＝12＋(n－1)－32(1－12n－1)＝32n＋n－2.∴an＝32n＋n－2.12.在等比数列{an}中，an0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；(3)是否存在k∈N*，使得S11＋S22＋…＋Snnk对任意n∈N*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a32＋2a3a5＋a52＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又an0，∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4.而q∈(0,1)，∴a3a5，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝12，a1＝16，∴an＝16×(12)n－1＝25－n.(2)∵bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝n(9－n)2.天星教育网，因你而精彩！版权所有，侵权必究！本卷第6页（共6页）(3)由(2)知Sn＝n(9－n)2，∴Snn＝9－n2.当n≤8时，Snn0；当n＝9时，Snn＝0；当n9时，Snn0.∴当n＝8或9时，S11＋S22＋S33＋…＋Snn＝18最大．故存在k∈N*，使得S11＋S22＋…＋Snnk对任意n∈N*恒成立，k的最小值为19.