等差数列求和公式

2.3.1等差数列的求和公式(第一课时)1.数列前n项和的定义一般地，称__________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝__________________.Sn与通项an之间的关系：a1＋a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an新课讲解综上可知，an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2.等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝__________Sn＝______________na1＋an2na1＋nn－12d求和公式变形：2)1(1nnaaanaS中中，AdBAaBnAnSn2)2(12等差数列前n项和公式的函数特征(2)当A＝0，B＝0时，Sn＝0是关于n的常数函数(此时a1＝0，d＝0)；当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数(此时a1≠0，d＝0)；当A≠0，B≠0时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(此时d≠0)．(1)等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d通过变形，可得Sn＝d2n2＋a1－d2n的形式．我们可以令A＝d2，B＝a1－d2，则Sn＝na1＋nn－12d可改写为Sn＝An2＋Bn.题型一与等差数列前n项和有关的基本量的计算(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.(1)a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求n和d.【例1】在等差数列{an}中．例题讲解解(1)由题意，得Sn＝na1＋an2＝n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.(2)由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.(3)由an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，解方程组得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.1.在等差数列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.解(1)S5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16.S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝17×a1＋a172＝17×a3＋a152＝17×402＝340.跟踪练习题型二利用Sn与an的关系求an解(1)①当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.②当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.【例2】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.(2)数列{an}的各项都为正数，且满足Sn＝an＋124(n∈N*，求数列的通项公式an.化简得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，因为an＞0，∴an＋1－an＝2，又4S1＝4a1＝(a1＋1)2得a1＝1，故{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1.又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，∴an＝5n＝1，2n－1n≥2.(2)法一(消Sn)；由Sn＝an＋124(n∈N*)，得4an＋1＝4(Sn＋1－Sn)＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2法二(消an)：由上可知2Sn＝an＋1，∴2Sn＝Sn－Sn－1＋1(n≥2)，化简可得(Sn－1)2＝Sn－1，(Sn＋Sn－1－1)(Sn－Sn－1－1)＝0，又S1＝1，{an}的各项都为正数，所以Sn－Sn－1＝1.所以Sn＝n，从而Sn＝n2，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，a1＝1也适合，故an＝2n－1.(2)已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？解(1)a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.1.(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.跟踪练习(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝1，∴an＝1，n＝1，2n，n≥2.∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列．2．已知数列{an}中，a1＝2，nan+1＝Sn+n(n+1)求证：{an}是等差数列.4．已知数列{an}中，a1＝1，)2(,1222nSSannn，（1）求an（2）设存在正数k，使12)1)....(1)(1(21nkSSSn对一切Nn都成立，求k的最大值。3．已知数列{an}中，a1＝2，nnnSaSaSaS24...24242211,求an.题型三求数列{|an|}的前n项和【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋2052n，求数列{|an|}的前n项和Tn.[规范解答]a1＝S1＝－32×12＋2052×1＝101.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－32n2＋2052n－－32n－12＋2052n－1＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)．由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即当n≤34时，an0；当n≥35时，an0.(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝Sn＝－32n2＋2052n；(6分)＝2S34－Sn(8分)＝2－32×342＋2052×34－－32n2＋2052n＝32n2－2052n＋3502.(10分)故Tn＝－32n2＋2052n，n≤34且n∈N*32n2－2052n＋3502n≥35且n∈N*.(12分)1.已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列bn的前n项之和Tn的表达式．解由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n，(n≥2，n∈N*)．验证a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*∴当n≤5时，an0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；当n5时，an0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.即Tn＝－n2＋10nn≤5，n2－10n＋50n5.跟踪练习方法技巧等差数列中创新型问题的求解策略关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．【示例】下表给出一个“等差数阵”：47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．解(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i＋1.所以a45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j＝7＋5(j－1)；……第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此，aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.2.3.1等差数列的求和公式(第二课时)1.等差数列前n项和的性质(1)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为____.(2)(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.m2d新课讲解(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①若，则S偶－S奇=②若，则kn2kd12kn中偶中奇kaSakS)1(kkSS1偶奇思考：如果数列的前n项和公式Sn＝An2＋Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？提示：由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an①得Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)②由①－②得an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∵S1＝a1，又Sn＝An2＋Bn，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2An－A＋B.当n＝1时，a1＝S1＝A＋B符合上式，∴an＝2An－A＋B(n∈N*)∴数列{an}是等差数列，首项为A＋B，公差为2A.∴an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2，2.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中当a10，d0时，Sn有_____值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a10，d0时，Sn有_____值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．(2)因为Sn＝d2n2＋a1－d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有_____值；当d0时，Sn有_____值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．最大最小最小最大an≥0an＋1≤0an≤0an＋1≥0题型一等差数列前n项和性质的应用(2)一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．(3)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,1）若,求；2）若，求【例1】(1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.例题讲解3225nnbann77TS3225nnTSnn77ba解(1)由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216.∴a1＋an＝36.又Sn＝na1＋an2＝324，∴18n＝324.∴n＝18.(2)法一设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋nn－12d.由已知得10a1＋10×92d＝100100a1＋100×992d＝10①②①×10－②，整理得d＝－1150，代入①，得a1＝1099100.∴S110＝110a1＋110×1092d＝110×1099100＋110×1092×－1150＝1101099－109×11100＝－110.故此数列的前110项之和为－110.法二数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则10S10＋10×92×d′＝S100＝10，又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.法三设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，∴