等差数列的性质(52张PPT)

第二章数列系列丛书进入导航第二章数列第二章数列系列丛书进入导航2.2等差数列人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航第2课时等差数列的性质课时作业课前自主预习课堂互动探究随堂知能训练人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2．理解等差数列的性质．3．掌握等差数列的性质及其应用.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航课主自前预习课前预习·········································明确目标人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航等差数列的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质：(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则.新知初探am＋an＝ap＋aq人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航(2)若给出等差数列的第m项和第n项am和an，则d＝.(3){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即.am－anm－na1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝…人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列．(5)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为的等差数列．(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}也是λdmd等差数列．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航1．等差数列的通项同一次函数间是什么关系？思考感悟提示：(1)当等差数列的公差d＝0时，其通项an＝a1，是不随自变量变化而变化的常数，是常函数，不是一次函数．(2)当等差数列的公差d≠0时，其通项an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，显然其是关于n的一次函数．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航2．在等差数列{an}中，若an＋am＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q吗？提示：不一定，若{an}是常数列，则m＋n＝p＋q不一定成立．若{an}不是常数列，则m＋n＝p＋q成立．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航3．等差数列的“子数列”有什么性质？提示：若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航课动互堂探究例练结合·········································素能提升人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航类型一等差数列的性质及应用[例1]已知等差数列{an}，(1)若a2＋a3＋a25＋a26＝48，求a14；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.典例导悟人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[分析]等差数列的首项a1和公差d是等差数列中最基本的两个量．本题如果是利用已知条件列出关于a1和d的方程(或方程组)．进而求出a1和d，当然可使问题获解．但若能结合等差数列的几个基本性质进行解题，可以收到事半功倍的效果．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[解](1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48.解得a14＝12.(2)∵a2＋a5＝a3＋a4，∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34.解得a2＋a5＝17.又已知a2a5＝52，人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航联立解得a2＝4，a5＝13，或a2＝13，a5＝4.当a2＝4，a5＝13时，d＝a5－a25－2＝3；当a2＝13，a5＝4时，d＝a5－a25－2＝－3.∴公差d为3或－3.人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[点评]本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航变式训练1(1)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求3a9－a13的值．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.(2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[例2]若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．[分析]方法1：先求出a1和d，确定通项公式an，从而得出a75.方法2：本题也可根据性质：{an}为等差数列，则a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，再进行求解．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[解]方法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.∴a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.∴a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航方法2：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[点评]等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数列，方法2正是应用等差数列这一性质解题的．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航变式训练2已知数列{an}为等差数列．(1)若a15＝10，a45＝90，求a60；(2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航解：(1)∵在等差数列{an}中，a15，a30，a45，a60成等差数列，∴a30＝a15＋a452＝10＋902＝50，∴a60＝2a45－a30＝2×90－50＝130.(2)a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋2d×33＝50－66×2＝－82.人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航类型二等差数列的实际应用[例3]有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依此类推，每多买一台则所买各台单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪一家商场购买花费较少？[分析]先求出购买n台时甲商场的售价，再与购买n台时乙商场的售价作差比较．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[解]设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数成等差数列{an}，则an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，解不等式an≥440,800－20n≥440，得n≤18.当购买台数小于18时，每台售价为(800－20n)元，在台数大于或等于18时，每台售价440元．到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600(元)．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航又(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，所以，当n10时，600n(800－20n)n；当n＝10时，600n＝(800－20n)n；当10n18时，(800－20n)n600n；当n≥18时，440n600n.所以当购买台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买10台时，到两商场购买花费相同；当购买多于10台时，到甲商场购买花费较少．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[点评](1)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航变式训练3某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航解：由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋2200，解得n11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航类型三等差数列的综合应用[例4]把数列{2n＋1}中的项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环，为：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…，则第104个括号内的各数之和为()A．2036B．2048C．2060D．2072人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[解析]由观察发现，每四个括号是一个循环，一个循环由10个数组成，104个括号有26个循环，则第104个括号内有四个数，这四个数为数列3,5,7,9，…的第257项、第258项、第259项、第260项，分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2，即515,517,519,521，其和为2072.故选D.[答案]D人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[点评]善于捕捉题中信息，巧妙地与等差数列联系在一起，从而找到解决问题的办法．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航易错点：等差数列的性质理解不深导致出错[错题展示]已知{an}是等差数列，且a2＋a4＝10，a5＝9，求数列{an}的通项公式．[错解]∵{an}是等差数列，由性质知a2＋a4＝a6＝10.∴d＝a6－a5＝1.∴an＝a5＋(n－5)×d＝n＋4.自我纠错人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[错因分析]等差数列{an}的其中一个性质是：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，而题目中有2＋4＝6，故得a2＋a4＝a6.此种解法是学生没有掌握此性质的实质，其实等式的左边和右边都必须是两项相加才行．人教A版·数学·必修5第二章2.2第2课时系列丛书进入导航[正解]设数列的首项和公差分别为a1和d.a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝10，a5＝a1＋4d＝9.