等差数列的性质

数学人教A版·必修5第二章第2课时等差数列的性质在理解、掌握等差数列定义和通项公式的基础上，探索发现等差数列的性质，并能够运用这些性质灵活地解决一些实际问题．等差数列{an}的一些性质：(1)对于任意正整数n，都有an＋1－an＝d(定义式)．(2)对于任意正整数n、m(n≥m)都有an－am＝________d，(通项公式的推广式)．(3)对于任意正整数n(n1)都有an＋1－an＝an－an－1即2an＝an＋1＋an－1.(n－m)(4)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as.特别地对任意正整数p、q、r若p＋q＝2r，则ap＋aq＝___.(5)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差，公差为d，则{ban}也成等差，且公差为_____.(6)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn则{cn}，{dn}都是等差数列．2arbd(7)等差数列{an}的相邻k项的和仍为等差数列．如a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，an－1＋an，……成等差数列；a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，an＋an＋1，……成等差数列；a1＋a2＋…＋am，a2＋a3＋…＋am＋1，a3＋a4＋…＋am＋2，…，ak＋ak＋1＋…＋ak＋m－1…成等差数列等等．(8)等差数列{an}的等间隔的项(或其相同项数的和)仍为等差数列．如a1，a3，a5，…，a2n－1，……成等差数列；a1，a4，a7，…，a3n－2，……成等差数列．即下标成等差数列的项仍为等差数列．(9)在等差数列{an}中，a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ai＋an－i＋1.重点：等差数列的性质．难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题．1．学习本节的关键要抓住：等差数列中，下标成等差数列的项成等差数列．即：若{an}为等差数列，则m、n、k成等差⇔am、an、ak成等差．在应用性质解决问题过程中，要紧紧抓住下标这个关键点，灵活运用通项公式和性质，很多问题就能很方便地得到解决．2．等差数列{an}中，通项是n的一次函数，可借助直线方程的斜率知识理解d＝am－anm－n及相关性质．3．若数列{an}是公差为d的等差数列，当d＝0时，{an}为常数列，当d0时，{an}递增，当d0时，{an}递减．命题方向等差数列的性质[例1]等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，求a1和d.[分析]由等差数列的性质及4＋7＝5＋6可将条件式a4＋a5＋a6＋a7＝56化为a4与a7的关系式．[解析]∵a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝56，∴a4＋a7＝28，又a4·a7＝187，∴a4＝11a7＝17或a4＝17a7＝11，∴a1＝5d＝2或a1＝23d＝－2.在等差数列{an}中，a18＝95，a32＝123，an＝199，则n＝________.[答案]70[解析]∵a32－a18＝(32－18)d＝123－95，∴d＝2，又a18＝a1＋17d＝95，∴a1＝61，∴an＝a1＋(n－1)d＝61＋2(n－1)＝199，∴n＝70.[点评]在求得d＝2后，可直接由an＝a18＋(n－18)·d得199＝95＋2(n－18)，∴n＝70.[例2]设公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝()A．－182B．－78C．－148D．－82[分析]观察其下标的构成规律：1,4,7，…，97,2,5,8，…，98,3,6,9，…，99，可利用等差数列下标成等差的项的和构成等差数列求解．[答案]D[解析]a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋……＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋2d×33＝50＋(－4)×33＝－82.(2011·重庆理，11)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[答案]74[解析]a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.命题方向等差数列的应用.[例3]甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡规模进行调查，提供两个不同的信息如图．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场生产1万只肉鸡上升到第6年平均每个养鸡场生产2万只肉鸡．乙调查表示：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个．请你根据提供的信息解答下列问题：(1)第二年的养鸡场的个数及全县生产肉鸡的只数各是多少？(2)到第6年这个县出产的肉鸡数比第一年出产的肉鸡数增加了还是减少了？[分析]若设第n年饲养鸡an万只，养鸡场bn个，观察图形可以发现点(n，an)在同一条直线上，点(n，bn)在同一条直线上，故{an}，{bn}都是等差数列．[解析](1)设第n年饲养鸡an万只，养鸡场为bn个，由条件知，{an}、{bn}均为等差数列，n∈N*且1≤n≤6.a1＝1，a6＝2，∴an＝0.2n＋0.8，b1＝30，b6＝10，∴bn＝－4n＋34，∴a2＝1.2，b2＝26，a2b2＝31.2(万只)，∴第二年有养鸡场26个．饲养鸡31.2万只．(2)a1b1＝30，a6b6＝20a1b1，∴第六年出产的肉鸡数比第一年减少了．[例4]已知两个等差数列5,8,11…和3,7,11…都有100项，问它们有多少共同项？[分析]设两个等差数列公差分别为d，d′，其公共项组成的数列为{cn}，令D＝cn＋1－cn，则D是d的整数倍，也是d′的整数倍，因此是d与d′的公倍数，又因为cn＋1与cn是相邻的两项，所以D是d与d′的最小公倍数．故{cn}是以d与d′的最小公倍数为公差的等差数列．[解析]设两数列的共同项组成新数列{an}，则{an}是首项为11的等差数列．∵数列5,8,11，…与3,7,11，…公差分别为3与4，∴{an}的公差d＝3×4＝12，∴an＝11＋(n－1)·12＝12n－1，∵数列5,8,11，…与3,7,11，…的第100项分别为302与399，∴an＝12n－1≤302，∴n≤25.25，∵n∈N*，∴所给两数列有25个共同项．[点评]1.两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数．2．本题还可用下述方法来解，由3n＋2＝4m－1得n＝43m－1，∵m、n∈N*.∴可设m＝3r(r∈N*)，∴n＝4r－1，根据题意有1≤3r≤1001≤4r－1≤100，解得1≤r≤25∴有25个相同项．3．这类问题也可分别写出前几项，找出共同项，再求新数列．*已知数列{an}和{bn}的通项公式为an＝3n＋5，bn＝4n＋8，求这两个数列中的公共项组成的新数列{cn}的通项公式．[解析]令an＝bm，由3n＋5＝4m＋8得n＝4m＋33＝43m＋1，令m＝3k，则n＝4k＋1，于是an＝a4k＋1＝3(4k＋1)＋5＝12k＋8，∴ck＝a4k＋1＝12k＋8，∴cn＝12n＋8.合作探究一个无穷等差数列的首项是93，公差是－7；另一个无穷等差数列的首项是17，公差是12，这两个数列中存在着序号及数值均相等的项吗？[解析]an＝93＋(－7)·(n－1)＝100－7n，bn＝17＋12(n－1)＝12n＋5，假设数列{an}与{bn}中存在着序号及数值都相等的项，则应有an＝bn成立，即100－7n＝12n＋5，∴n＝5.故这样的项存在，它是两个数列的第5项，其数值为65.*创新思维训练下表给出一个“等差数阵”47()…a1j…712()…a2j…()()()…a3j…………………ai1ai2ai3…aij…………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式．[解析](1)∵每行都成等差数列，∴a15＝a11＋4(a12－a11)＝16.a25＝a21＋4(a22－a21)＝27，又∵每列都成等差数列，∴a45＝a15＋3(a25－a15)＝49.(2)解法1：该等差数阵的第1行是首项为4，公差为3的等差数列，∴a1j＝4＋3(j－1)＝3j＋1，第二行是首项为7，公差为5的等差数列，∴a2j＝7＋5(j－1)＝5j＋2，…，第j列是首项为a1j，公差为d＝a2j－a1j＝2j＋1的等差数列，因此aij＝3j＋1＋(i－1)(2j＋1)＝2ij＋i＋j.解法2：第一列是首项a11＝4，公差d＝a21－a11＝7－4＝3的等差数列，∴通项ai1＝4＋3(i－1)＝3i＋1，第二列是首项a12＝7，公差d′＝a22－a21＝12－7＝5的等差数列，∴ai2＝7＋5(i－1)＝5i＋2，∵ai1，ai2，ai3……aij……构成首项ai1＝3i＋1公差d1＝ai2－ai1＝(5i＋2)－(3i＋1)＝2i＋1的等差数列，∴aij＝ai1＋(j－1)d1＝i＋j＋2ij.[例5]设数列{an}是等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，试求ap＋q.[错解]∵数列{an}成等差数列，∴ap＋q＝ap＋aq＝p＋q.[辨析]在等差数列{an}的所有求和的性质中，一个最重要的前提必须是相同的项数．．．．．．．．，ap＋q只有一项，ap＋aq中有两项，尽管下标和相等，但它们并不相等．[正解]∵ap＝a1＋(p－1)d＝q，aq＝a1＋(q－1)d＝p，p≠q，∴两式相减得d＝－1，∴a1＝p＋q－1，∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝(p＋q－1)＋(p＋q－1)×(－1)＝0.一、选择题1．等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为()A.α＋β2nB.α－β2nC.α＋β2mD.α－β2m[答案]B[解析]d＝β－αm－n－m＋n＝α－β2n.2．等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100B．120C．140D．160[答案]B[解析]a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝7a6＝420，∴a6＝60，∴a2＋a10＝2a6＝120.二、填空题3．在－1与7之间顺次插入三个数a、b、c，使这五个数成等差数列，则这个数列为________．[分析]此题可求出公差后，再逐项求解，也可以利用等差数列的性质求解．[答案]－1,1,3,5,7[解析]解法1：设这几个数组成的等差数列为{an}，由已知a1＝－1，a5＝7，∴7＝－1＋(5－1)d.解得d＝2，所求数列为－1,1,3,5,7.解法2：可利用等差数列的性质求解．∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1,7的等差中项，a是－1，b的等差中项，c是b,7的等差中项，即b＝－1＋72＝3，a＝－1＋b2＝1，c＝b＋72＝5.三、解答题4．成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．[解析]设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则：a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40由①：a＝132代入②得：d＝±32，∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.