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专题五立体几何第二编专题整合突破第二讲点、直线、平面之间的位置关系主干知识整合[必记定理]1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理[重要结论]1．三种平行关系的转化2．三种垂直关系的转化[失分警示]1．忽视线面平行判定定理的条件：证明线面平行时，忽视“直线在平面外”“直线在平面内”的条件．2．忽视线面垂直判定定理的条件：证明线面垂直时，忽视“平面内两条相交直线”这一条件．3．关注面面垂直的性质定理的条件：当题目涉及面面垂直的条件时，一般用此定理转化为线面垂直，应用时注意在面面垂直的前提下，过平面内一点，垂直于两平面交线的直线应在其中一个平面内．热点考向探究考点线、面位置关系与命题真假的判断典例示法典例1(1)[2016·广州五校联考]已知a，b是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β[解析]构造长方体ABCD－A1B1C1D1.对于A，若AB∥CD，CD⊂平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，A错；对于B，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AD⊥平面ABB1A1，但AD⊂平面ABCD，B错；对于C，若平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，AB⊂平面ABCD，但B1C1不平行于AB，C错；对于D，若A1B1⊥平面BCC1B1，AB⊥平面ADD1A1，AB∥A1B1，则平面BCC1B1∥平面ADD1A1，D正确．故选D.(2)[2015·安徽高考]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面[解析]A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．针对训练1.[2016·江西南昌调研]已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析易知A、B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊂β，所以β⊥α，即C正确；对于D，因为m∥α，α∩β＝n，所以m∥n或m与n是异面直线，故D不正确．2.[2016·郑州高三质检]如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是()A．BM是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB∥平面A1DE解析延长CB至F，使CB＝BF，连接A1F，可知MB为△A1FC的中位线，即MB＝12A1F，因为在翻折过程中A1F为定值，所以BM为定值．点A1绕DE的中点、以定长为半径做圆周运动，点M运动的轨迹与点A1相似，也是圆周运动，所以点M在某个球面上运动．由题知DE⊥EC，若DE⊥A1C，则直线DE⊥平面ECA1，于是∠DEA1＝90°，又因为∠DAE＝90°，即∠DA1E＝90°，此时在一个三角形中有两个直角，所以DE不可能垂直于A1C.因为MB綊12A1F，由图可知A1F在平面A1DE内，所以存在某个位置使得MB∥平面A1DE.考点空间平行关系的证明典例示法题型1线面平行的判定与性质典例2如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．[解](1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．由D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.题型2面面平行的判定与性质典例3如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.[证明](1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.立体几何中证明平行关系的常用方法(1)证明线线平行的常用方法①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行．②利用平行四边形进行转换．③利用三角形中位线定理证明．④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．(2)证明线面平行的常用方法①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行．②利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．(3)证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．考点空间垂直关系的证明典例示法题型1线线、线面垂直的判定与性质典例4[2016·山西四校联考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是正三角形，点D是A1B1的中点，AC＝2，CC1＝2.(1)求三棱锥C－BDC1的体积；(2)证明：A1C⊥BC1.[解](1)依题意，VC－BDC1＝VD－BCC1，过点D作DH⊥C1B1，垂足为H，在直三棱柱中C1C⊥平面A1B1C1，∴C1C⊥DH，∴DH⊥平面BCC1，∴DH是三棱锥D－BCC1在平面BCC1上的高，∴DH＝32，又S△BCC1＝12×2×2＝2，∴VC－BDC1＝VD－BCC1＝13×32×2＝66.(2)证明：取C1B1的中点E，连接A1E，CE，∵底面是正三角形，∴A1E⊥B1C1，易知A1E⊥BC1，Rt△C1CE中，C1C＝2，C1E＝1，Rt△BCC1中，BC＝2，CC1＝2，∴C1CBC＝C1ECC1，∴△CC1E∽△BCC1，∴∠C1BC＝∠ECC1，∠C1BC＋∠BC1C＝90°，∴∠ECC1＋∠BC1C＝90°，∴CE⊥BC1，∴BC1⊥平面A1CE，∴A1C⊥BC1.题型2面面垂直的判定与性质典例5[2015·山东高考]如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.立体几何中证明垂直关系的常用方法(1)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直．②利用勾股定理逆定理．③利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．(2)证明线面垂直的常用方法①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直．②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直．③利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．(3)证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．高考随堂演练[全国卷高考真题调研]1．[2016·全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解析因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为32，选A.2．[2015·全国卷Ⅰ]如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋25.3.[2016·全国卷Ⅰ]如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．解(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.又PD∩DE＝D，所以AB⊥平