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2017年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)一、选择题1.(2017·全国Ⅰ文,5)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A.13B.12C.23D.321.【答案】D【解析】因为F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).因为P是C上一点,所以4-y2P3=1,解得yP=±3,所以P(2,±3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以S△APF=12×|PF|×1=12×3×1=32.故选D.2.(2017·全国Ⅰ文,12)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,3]∪[4,+∞)2.【答案】A【解析】方法一设焦点在x轴上,点M(x,y).过点M作x轴的垂线,交x轴于点N,则N(x,0).故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN)=3+x|y|+3-x|y|1-3+x|y|·3-x|y|=23|y|x2+y2-3.又tan∠AMB=tan120°=-3,且由x23+y2m=1,可得x2=3-3y2m,则23|y|3-3y2m+y2-3=23|y|1-3my2=-3.解得|y|=2m3-m.又0<|y|≤m,即0<2m3-m≤m,结合0<m<3解得0<m≤1.对于焦点在y轴上的情况,同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).故选A.方法二当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=3,即3m≥3,解得0<m≤1.当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则ab≥tan60°=3,即m3≥3,解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A.3.(2017·全国Ⅱ文,5)若a1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(2,+∞)B.(2,2)C.(1,2)D.(1,2)3.【答案】C【解析】由题意得双曲线的离心率e=a2+1a.∴e2=a2+1a2=1+1a2.∵a>1,∴0<1a2<1,∴1<1+1a2<2,∴1<e<2.故选C.4.(2017·全国Ⅱ文,12)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.334.【答案】C【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=3(x-1).联立得方程组y=3x-1,y2=4x,解得x=13,y=-233或x=3,y=23.∵点M在x轴的上方,∴M(3,23).∵MN⊥l,∴N(-1,23).∴|NF|=1+12+0-232=4,|MF|=|MN|=3-(-1)=4.∴△MNF是边长为4的等边三角形.∴点M到直线NF的距离为23.故选C.5.(2017·全国Ⅲ文,11)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则椭圆C的离心率为()A.63B.33C.23D.135.【答案】A【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,∴圆心到直线的距离d=2aba2+b2=a,解得a=3b,∴ba=13,∴e=ca=a2-b2a=1-ba2=1-132=63.6.(2017·天津文,5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=16.【答案】D【解析】根据题意画出草图如图所示不妨设点A在渐近线y=bax上.由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF=60°,c=|OF|=2.又点A在双曲线的渐近线y=bax上,∴ba=tan60°=3.又a2+b2=4,∴a=1,b=3,∴双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.7.(2017·浙江,2)椭圆x29+y24=1的离心率是()A.133B.53C.23D.597.【答案】B【解析】∵椭圆方程为x29+y24=1,∴a=3,c=a2-b2=9-4=5.∴e=ca=53.故选B.8.(2017·全国Ⅰ理,10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.108.【答案】A【解析】因为F为y2=4x的焦点,所以F(1,0).由题意知直线l1,l2的斜率均存在,且不为0,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-1k,故直线l1,l2的方程分别为y=k(x-1),y=-1k(x-1).由y=kx-1,y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·x1+x22-4x1x2=1+k2·2k2+4k22-4=41+k2k2.同理可得|DE|=4(1+k2).所以|AB|+|DE|=41+k2k2+4(1+k2)=41k2+1+1+k2=8+4k2+1k2≥8+4×2=16,当且仅当k2=1k2,即k=±1时,取得等号.故选A.9.(2017·全国Ⅱ理,9)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.2339.【答案】A【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y=bax,圆的圆心为(2,0),半径为2,由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22-12=3.根据点到直线的距离公式,得|2b|a2+b2=3,解得b2=3a2.所以C的离心率e=ca=c2a2=1+b2a2=2.故选A.10.(2017·全国Ⅲ理,5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=110.【答案】B【解析】由y=52x,可得ba=52.①由椭圆x212+y23=1的焦点为(3,0),(-3,0),可得a2+b2=9.②由①②可得a2=4,b2=5.所以C的方程为x24-y25=1.故选B.11.(2017·全国Ⅲ理,10)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.1311.【答案】A【解析】由题意知,以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,∴圆心到直线的距离d=2aba2+b2=a,解得a=3b,∴ba=13,∴e=ca=a2-b2a=1-ba2=1-132=63.故选A.12.(2017·天津理,5)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1C.x24-y28=1D.x28-y24=112.【答案】B【解析】由题意可得ca=2,即c=2a.又左焦点F(-c,0),P(0,4),则直线PF的方程为y-04-0=x+c0+c,化简即得y=4cx+4.结合已知条件和图象易知直线PF与y=bax平行,则4c=ba,即4a=bc.由c=2a,4a=bc,a2+b2=c2,解得a2=8,b2=8,故双曲线方程为x28-y28=1.故选B.二、填空题1.(2017·全国Ⅲ文,14)双曲线x2a2-y29=1(a0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=________.1.【答案】5【解析】∵双曲线的标准方程为x2a2-y29=1(a>0),∴双曲线的渐近线方程为y=±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y=35x,∴a=5.2.(2017·北京文,10)若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=________.2.【答案】2【解析】由双曲线的标准方程知a=1,b2=m,c=1+m,故双曲线的离心率e=ca=1+m=3,∴1+m=3,∴m=2.3.(2017·北京文,12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO→·AP→的最大值为________.3.【答案】6【解析】方法一根据题意作出图象,如图所示,A(-2,0),P(x,y).由点P向x轴作垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0).AO→·AP→=|AO→|·|AP→|cosθ,|AO→|=2,|AP→|=x+22+y2,cosθ=AQAP=x+2x+22+y2,所以AO→·AP→=2(x+2)=2x+4.点P在圆x2+y2=1上,所以x∈[-1,1].所以AO→·AP→的最大值为2+4=6.方法二如图所示,因为点P在圆x2+y2=1上,所以可设P(cosα,sinα)(0≤α<2π),所以AO→=(2,0),AP→=(cosα+2,sinα),AO→·AP→=2cosα+4≤2+4=6,当且仅当cosα=1,即α=0,P(1,0)时“=”号成立.4.(2017·天津文,12)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为________.4.【答案】(x+1)2+(y-3)2=1【解析】由y2=4x可得点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1.由圆心C在l上,且圆C与y轴正半轴相切(如图),可得点C的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO=90°.又因为∠FAC=120°,所以∠OAF=30°,所以|OA|=3,所以点C的纵坐标为3.所以圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=1.5.(2017·山东文,15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.5.【答案】y=±22x【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).由x2a2-y2b2=1,x2=2py,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,∴y1+y2=2pb2a2.又∵|AF|+|BF|=4|OF|,∴y1+p2+y2+p2=4×p2,∴y1+y2=p,∴2pb2a2=p,即b2a2=12,∴ba=22,∴双曲线的渐近线方程为y=±22x.6.(2017·江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是________.6.【答案】23【解析】如图所示,双曲线x23-y2=1的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),所以|F1F2|=4.双曲线x23-y2=1的右准线方程为x=a2c=32,渐近线方程为y=±33x.由x=32,y=33x得P32,32.同理可得Q32,-32.∴|PQ|=3,∴S四边形12FPFQ=12·|F1F2|

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