【数学】最新3年高考2年模拟 第5章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形

第五章平面向量、解三角形第二节解三角形第一部分三年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010上海文）18.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC（）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【答案】C解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos222c，所以角C为钝角2.（2010湖南文）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。3.（2010江西理）7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（）A.1627B.23C.33D.34【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得4cos5ECF，解得3tan4ECF解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得4cos5ECF，解得3tan4ECF。4.（2010北京文）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为[来源:学+科+网]（A）2sin2cos2；（B）sin3cos3（C）3sin3cos1；（D）2sincos1【答案】A5.（2010天津理）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（A）030（B）060（C）0120（D）0150【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得232322cbcbRR，所以cosA=2222+c-a322bbccbcbc=323322bcbcbc，所以A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。6.（2010湖南理）6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，2ca,则A、abB、abC、a=bD、a与b的大小关系不能确定7.（2010湖北理）3.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=A－223B223C－63D63【答案】D【解析】根据正弦定理sinsinabAB可得1510sin60sinB解得3sin3B，又因为ba，则BA，故B为锐角，所以26cos1sin3BB，故D正确.二、填空题1.（2010重庆文）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为(1,2,3)ii，则232311coscossinsin3333____________.解析：232312311coscossinsincos33333又1232，所以1231cos322.（2010山东文）（15）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a，2b,sincos2BB,则角A的大小为.答案：3.（2010北京文）（10）在ABC中。若1b，3c，23c，则a=。答案：14.（2010北京理）（10）在△ABC中，若b=1，c=3，23C，则a=。答案15.（2010广东理）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.答案1．解析：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，13sinsin60A，即1sin2A．由ab知，60AB，则30A，180180306090CAB，sinsin901C6.（2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cosbaCab，则tantantantanCCAB=_________。[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：1cos3C，21cos1tan21cos2CCC，2tan22C，1tantan2tan2ABC，tantantantanCCAB=4。（方法二）226cos6cosbaCabCabab，2222222236,22abccabababab2tantansincossinsincossinsin()1sintantancossinsincossinsincossinsinCCCBABACABCABCABCABCAB三、解答题1.（2010陕西文）17.（本小题满分12分）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos2222ADDCACADDC=10036196121062,ADC=120°,ADB=60°在△ABD中，AD=10,B=45°,ADB=60°，由正弦定理得sinsinABADADBB,AB=310sin10sin60256sinsin4522ADADBB.2.（2010辽宁文）（17）（本小题满分12分）在ABC中，abc、、分别为内角ABC、、的对边，且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB，得21sinsinCB因为900,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。3.（2010辽宁理）（17）（本小题满分12分）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abcbcbc即222abcbc由余弦定理得2222cosabcbcA故1cos2A，A=120°……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。……12分4.（2010安徽文）16、（本小题满分12分）ABC的面积是30，内角,,ABC所对边长分别为,,abc，12cos13A。(Ⅰ)求ABAC；(Ⅱ)若1cb，求a的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由12cos13A得sinA的值，再根据ABC面积公式得156bc；直接求数量积ABAC.由余弦定理2222cosabcbcA，代入已知条件1cb，及156bc求a的值.解：由12cos13A，得2125sin1()1313A.又1sin302bcA，∴156bc.（Ⅰ）12cos15614413ABACbcA.（Ⅱ）2222cosabcbcA212()2(1cos)12156(1)2513cbbcA，∴5a.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是30，12cos13A，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分),(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b+32c-32a=42bc.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos2ABCA的值.5.（2010天津理）（17）（本小题满分12分）已知函数2()23sincos2cos1()fxxxxxR（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值；（Ⅱ）若006(),,542fxx，求0cos2x的值。【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数sin()yAx的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。（1）解：由2()23sincos2cos1fxxxx，得2()3(2sincos)(2cos1)3sin2cos22sin(2)6fxxxxxxx所以函数()fx的最小正周期为因为()2sin26fxx在区间0,6上为增函数，在区间,62上为减函数，又(0)1,2,162fff，所以函数()fx在区间0,2上的最大值为2，最小值为-1（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin26fxx又因为06()5fx，所以03sin265x由0,42x，得0272,636x从而2004cos21sin2665xx所以0000343cos2cos2cos2cossin2sin66666610xxxx6.（2010全国卷1理）(17)(本小题满分10分)已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角C．7.（2010福建理）19．（本小题满分13分）O某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得103,AC=10,,,ACOCOCACAC故且对于线段上任意点P有OPOC，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设COD=(090),103tanRtCODCD则在中，，OD=103cos，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10103tan30t和103costv，所以10103tan30103cosv，解得1533,30,sin(+30)sin(+30)2vv又故，从而3090,30