【数学】最新3年高考2年模拟 第8章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何中的应用第一部分

第三节空间向量在立体几何中的应用第一部分三年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（11）与正方体1111ABCDABCD的三条棱AB、1CC、11AD所在直线的距离相等的点（）（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.2.（2010辽宁理）(12)(12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(A)（0,62）(B)（1,22）(C)(62,62）(D)（0,22）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=3，SD=21a，则有21a2+3，即22843(62)a，即有a62(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a0;综上分析可知a∈（0,62）3.（2010全国卷2文）（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A）有且只有1个（B）有且只有2个（C）有且只有3个（D）有无数个【答案】D【解析】：本题考查了空间想象能力∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，4.（2010全国卷2文）（8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A）34(B)54(C)74(D)34【答案】D【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴3AE，AS=3，∴SE=23，AF=32，∴3sin4ABFABCSEFABCDA1B1C1D1O5.（2010全国卷1文）（9）正方体ABCD-1111ABCD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）63【答案】D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1//DD1,所以B1B与平面AC1D所成角和DD1与平面AC1D所成角相等,设DO⊥平面AC1D，由等体积法得11DACDDACDVV,即111133ACDACDSDOSDD.设DD1=a,则12211133sin60(2)2222ACDSACADaa,21122ACDSADCDa.所以1312333ACDACDSDDaDOaSa,记DD1与平面AC1D所成角为,则13sin3DODD,所以6cos3.【解析2】设上下底面的中心分别为1,OO；1OO与平面AC1D所成角就是B1B与平面AC1D所成角，111136cos1/32OOOODOD6.（2010全国卷1理）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)233(B)433(C)23(D)8337.（2010全国卷1理）（7）正方体ABCD-1111ABCD中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为（A）23（B）33（C）23（D）638.（2010四川文）（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B，BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（A）17arccos25R（B）18arccos25R（C）13R（D）415R【答案】A【解析】由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝12cos∠BAC＝255连结OM，则△OAM为等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝455R，同理AN＝455R，且MN∥CD而AC＝5R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝45R，连结OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝22217225OMONMNOMON所以M、N两点间的球面距离是17arccos25R二、填空题1.（2010江西理）16.如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC,分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S，2S，3S，则1S，2S，3S的大小关系为。【答案】321SSS【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得321SSS。2.（2010北京文）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是()yfx，则()fx的最小正周期为；()yfx在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。【答案】41说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。3.（2010北京理）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的轨迹方程是()yfx，则()fx的最小正周期为；()yfx在其两个相邻零点间的图AB像与x轴所围区域的面积为【答案】41说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。4.（2010四川文）（15）如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是.【答案】34【解析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角l的平面角，为60°又由已知，∠ABD＝30°连结CB，则∠ABC为AB与平面所成的角设AD＝2，则AC＝3，CD＝1AB＝0sin30AD＝4∴sin∠ABC＝34ACAB5.（2010湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.【答案】4【解析】设球半径为r，则由3VVV球水柱可得33224863rrrr,解得r=4.6.（2010湖南理数）13．图3中的三个直角三角形是一个体积为203cm的几何体的三视图，则hcm．ABCD7.（2010湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm。【答案】4【解析】设球半径为r，则由3VVV球水柱可得33224863rrrr,解得r=4.8.（2010福建理数）12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于．【答案】6+23【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为324234，侧面积为3216，所以其表面积为6+23。【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。三、解答题1.（2010辽宁文）（19）（本小题满分12分）如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCCB是菱形，11BCAB（Ⅰ）证明：平面1ABC平面11ABC；（Ⅱ）设D是11AC上的点，且1//AB平面1BCD，求11:ADDC的值.解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以11BCCB又已知BBCBABACB1111,且所又CB1平面A1BC1，又CB1平面AB1C，所以平面CAB1平面A1BC1.（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.2.（2010辽宁理）（19）（本小题满分12分）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,12），N（12,0,0），S（1,12,0）.……4分（Ⅰ）111(1,1,),(,,0)222CMSN,因为110022CMSN，所以CM⊥SN……6分（Ⅱ）1(,1,0)2NC,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则10,2210.2xyzxxy令，得a=(2,1,-2).……9分因为1122cos,2232aSN所以SN与片面CMN所成角为45°。……12分3.（2010全国卷2文）（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1-AC1-B1的大小【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。4.（2010江西理）20.（本小题满分12分）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，23AB。（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD平面BCD,则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=3，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：OH=OCsin600=32,MH=15