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第2课时一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：基础知识梳理基础知识梳理判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象基础知识梳理判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集ax2＋bx＋c0(a0)的解集b2a{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x1xx2}∅∅当a0时，ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0的解集如何？【思考·提示】当a0时，可利用不等式的性质将二次项系数化为正数，注意不等号的变化，而后求得方程两根，再利用“大于号取两边，小于号取中间”求解．基础知识梳理2．用程序框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的求解的算法过程为：基础知识梳理基础知识梳理1．(2009年高考安徽卷)若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是()A．{1,2,3}B．{1,2}C．{4,5}D．{1,2,3,4,5}答案：B三基能力强化A．{x|－1x1}B．{x|0x3}C．{x|0x1}D．{x|－1x3}答案：C三基能力强化2．不等式组x2－10x2－3x0的解集为()3．设p：x2－x－200，q：1－x20，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A三基能力强化4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝－3x2＋5x－2，则使函数值大于0的x的取值范围是________．三基能力强化答案：{x|23x1}5．已知(ax－1)(x－1)0的解集是{x|x1或x2}，则实数a的值为________．三基能力强化答案：12解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c0(a0)，ax2＋bx＋c0(a0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．课堂互动讲练考点一一元二次不等式的解法课堂互动讲练例1解下列不等式：(1)2x2＋4x＋30；(2)－3x2－2x＋8≤0；(3)8x－1≥16x2.【思路点拨】首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集．课堂互动讲练【解】(1)∵Δ＝42－4×2×3＝16－24＝－80.∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根．∴2x2＋4x＋30的解集为∅.(2)原不等式等价于3x2＋2x－8≥0⇔(x＋2)(3x－4)≥0⇔x≤－2或x≥43.∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[43，＋∞)．(3)原不等式等价于16x2－8x＋1≤0⇔(4x－1)2≤0.课堂互动讲练∴只有当4x－1＝0，即x＝14时不等式成立，故不等式解集为{14}．【规律总结】若将(3)中“≥”改为“”，则此不等式无解．课堂互动讲练解下列不等式：(1)2x2＋4x＋30；(2)－3x2－2x＋80；(3)8x－116x2.解：(1)由例1(1)可知Δ＝－80，故二次函数图象开口向上且与x轴无交点，故不等式解集为R.课堂互动讲练互动探究(2)由例1(2)可知不等式等价于(x＋2)(3x－4)0，课堂互动讲练∴不等式解集为{x|－2x43}或写成(－2，43)．(3)不等式可化为(4x－1)20，∴只需4x－1≠0即x≠14.∴不等式解集为(－∞，14)∪(14，＋∞)或写成{x|x∈R且x≠14}．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；课堂互动讲练考点二含有参数的一元二次不等式的解法(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小．课堂互动讲练课堂互动讲练例2解关于x的不等式(1－ax)21.【思路点拨】将不等式左边化成二次三项式，右边等于0的形式，并将左边因式分解，据a的取值情况分类讨论．课堂互动讲练【解】由(1－ax)21得a2x2－2ax＋11.即ax(ax－2)0.(1)当a＝0时，不等式转化为00，故原不等式无解．(2)当a0时，不等式转化为x(ax－2)0，即x(x－2a)0.∵2a0，∴不等式的解集为{x|2ax0}．课堂互动讲练(3)当a0时，不等式转化为x(ax－2)0，又2a0，∴不等式的解集为{x|0x2a}．综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a0时，不等式解集为{x|2ax0}；当a0时，不等式解集为{x|0x2a}．【误区警示】(1)讨论不全面，如仅按a0和a0两种情况讨论；(2)当a0时，x系数化1时不等号方向未变向；(3)讨论结束后未按讨论的情况作出结论，或将各种结果求并作答．课堂互动讲练一元二次不等式恒成立问题1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．课堂互动讲练考点三一元二次不等式恒成立问题2．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．课堂互动讲练课堂互动讲练例3已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．【思路点拨】可以从函数的角度进行考虑，转化为函数求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方程根的讨论．课堂互动讲练【解】法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a，(1)当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3，要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得a≥－3.又a－1，∴－3≤a－1.(2)当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－2≤a≤1.又a≥－1，∴－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.课堂互动讲练法二：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2－2ax＋2－a，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或课堂互动讲练Δ0a≤－1g(－1)≥0，解得－3≤a≤1.【失误点评】在解答过程中法二中易出现将x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒课堂互动讲练成立的条件写成a≤－1g(－1)≥0的错误，导致这种错误的原因是对f(x)图象情况分类不清．不等式应用题常以函数的模型出现，多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及到不等式的解及有关问题，解不等式的应用题，要理清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解不等式应用题的关键．课堂互动讲练考点四一元二次不等式的实际应用课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，决定降低税率．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【思路点拨】课堂互动讲练表示税率调低后的税收收入→列不等关系→解不等式→得结论【解】设税率调低后的税收总收入为y元，则y＝2400m(1＋2x%)×(8－x)%由题意知，0x≤8，5分要使税收总收入不低于原计划的78%，须y≥2400m×8%×78%，课堂互动讲练＝－1225m(x2＋42x－400)．整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2，又0x≤8，∴0x≤2，所以，x的取值范围是(0,2].12分课堂互动讲练即－1225m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，9分【规律小结】不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系．(3)解不等式．(4)回归实际问题．课堂互动讲练(本题满分8分)2008年8月8日，第29届奥运会在北京举行，某超市从2008年1月1日开始代销某种奥运会纪念品，记2008年1月1日为x＝1,1月2日为x＝2，依次类推，经过10天的销售，超市得到日课堂互动讲练高考检阅拟，已知每销售一个纪念品，超市获利2元，试问该超市销售该纪念品有多少天日获利不少于500元？课堂互动讲练销售量P可用函数P＝－1300x2＋85x＋61来模解：要使日获利不少于500元，须日销售量不少于250个，课堂互动讲练∴P≥250，即－1300x2＋85x＋61≥250，3分∴－1300x2＋85x－189≥0，∴x2－480x＋189×300≤0，∴(x－210)(x－270)≤0，6分∴210≤x≤270.从第210天到第270天，共61天．所以超市销售该纪念品有61天日获利不少于500元.8分课堂互动讲练一元二次不等式的解法技巧1．关于一元二次不等式的求解，主要是研究当x2的系数为正值的一种情形(当x2的系数为负值时，可先化成正值来解决)．对于一元二次不等式的解集，有的学生因为理解不够而死记硬背，常常将对应的二次不等式应该是空集还是实数集混淆，要解决这个问题，最好的办法就是将二次不等式与对应规律方法总结的二次方程、二次函数的图象真正联系起来，时时注意数形结合，这样就不会出现那样的错误了．要注意真正理解不等式解的含义．规律方法总结2．对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入