2.2全概率公式与贝叶斯公式

2.2.全概率公式与贝叶斯公式解2.2.1全概率公式因为Ｂ＝ＡＢ∪AB，且ＡＢ与互不相容，所以AB()()()PBPABPAB()()()()PAPBAPAPBA6546109109＝0.6一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球的概率。例A={第一次取到白球}AABABAB()()PBPABAB()()PABPAB()(|)()(|)PAPBAPAPBA全概率公式设Ａ1，Ａ2，...，Ａn构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi)＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有1()()(|)niiiPBPAPBA定理（全概率公式）1A2A3A11()(|)PAPBA22()(|)PAPBA33()(|)PAPBA()PB例设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率．解设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：41iii)AB(P)A(P)B(P＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825例在对空演习中，某高射炮的目标是正在行进中的一架飞机.已知该炮能击中发动机、机舱及其他部位的概率分别是0.10，0.08，0.39.又若击中上述部位而使飞机坠毁的概率分别是0.95，0.89，0.51。试求该炮任意发射一发炮弹使飞机坠毁的概率。解设B1，B2，B3，B4，分别表示炮弹击中发动机、机舱、其他部位以及未击中飞机的事件，A为飞机坠毁的事件。已知P(B1)=0.10,P(B2)=0.08,P(B3)=0.39,P(B4)=1-0.10-0.08-0.39=0.43,则由全概率公式：)()()()()(2211BAPBPBAPBPAP)()()()(4433BAPBPBAPBP043.051.039.089.008.095.010.03651.0例袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，问第二个人取得黄球的概率是多少？解设A为“第二个人得黄球”的事件。B表示“第一个人得黄球”的事件，则由全概率公式：)()()()()(BAPBPBAPBPAP52例5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次。（1）若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率；（2）若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率。解（1）不放回抽样的情况数字”。一张卡片上的卡片上的数字大于第表示事件“第二次取出A).,,,,(,)(,)(543214551kkBAPBPkk则由全概率公式得：51kkkBAPBPAP)()()(514551kk.)(2143214151（2）有放回抽样的情况).,,,,(,)(,)(543215551kkBAPBPkk51kkkBAPBPAP)()()(.)(52543215151()(|)()(|)()(|)PAPBAPAPBAPAPBA2.2.2贝叶斯公式Bayes’Theorem后验概率B()()(|)PABPAPBA()()(|)PABPAPBAABAB()(|)()PABPABPB设A1，A2，…,An构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，P（B）0,则有1()(|)(|)()(|)kkkniiiPAPBAPABPAPBA(k=1,2,…,n)证明()()()kkPABPABPB()()kkPAPBA1()()niiiPAPBA定理贝叶斯公式Bayes’Theorem例1设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．解设Ａ1，Ａ2，Ａ3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，Ｂ表示产品为次品．显然，Ａ1，Ａ2，Ａ3构成完备事件组．依题意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P332211110.250.050.250.050.350.040.40.020.362例2已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。解设A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。则1()(),2PAPBC表示抽到的人有色盲症。(|)0.05,PCA(|)0.0025PCB由Bayes公式有()(|)0.50.05(|)()(|)()(|)0.50.050.50.0025PAPCAPACPAPCAPBPCB95%例3某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的。考生不知道正确答案的概率为1/4，不知道正确答案而猜对的概率为1/6。现已知某考生答对了，问他猜对此题的概率有多大？解设A表示“考生不知道正确答案”，B表示“考生答对了考题”。则1436141)(,/)(,/)(,/)(ABPAPABPAP由全概率公式得：)()()()()(ABPAPABPAPBP1436141,2419由贝叶斯公式得：)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP14361416141.191例4根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以C表示“被诊断者患有癌症”，则有,.)(950CAP).(,.)(...)(ACPCPCAP试求，即有癌症的概率为，设被试验的人患现对自然人群进行普查00500050950解,.)(950CAP)()(CAPCAP1,05.095.01,995.0)(,005.0)(CPCP)()()()()()()(CAPCPCAPCPCAPCPACP05.0995.095.0005.095.0005.0087.0例5已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为次品的概率为0.02，而次品被误认为正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率。解设A表示“产品是正派品”，B表示“通过检验产品被认为是正品”。则表示“产品是次品”，A认为是次品”。表示“通过检验产品被B由全概率公式得：)()()()()(ABPAPABPAPBP05.004.098.096.09428.0由贝叶斯公式得：)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP.998.09428.098.096.0例6设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏情况共有3种，损坏2%（事件A1），损坏10%（事件A2），损坏90%（事件A3），且知：。整品的概率件是否为完出一件后不影响取后一里设物品件数很多，取这。试求事件件都是好的这件，发现随机地取中现在从已被运输的物品)).((),(),()(,..)(BAPBAPBAPBAP321333050,.)(,.)(1508021APAP解由条件知，05.0)(,15.0)(,8.0)(321APAPAP,)98.0(%)21()(331ABP,)98.0(%)21()(331ABP,)90.0(%)101()(332ABP,)10.0(%)901()(333ABP由贝叶斯公式得：)()()()()()()()()(332211111ABPAPABPAPABPAPABPAPBAP3333)1.0(05.0)9.0(15.0)98.0(8.0)98.0(8.08731.0.1268.0)(,1268.0)(22BAPBAP同理，