2011届高三数学一轮复习精品课件：两角和与差的三角函数

第3课时两角和与差的三角函数1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝；C(α＋β)：cos(α＋β)＝；S(α＋β)：sin(α＋β)＝；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；基础知识梳理T(α＋β)：tan(α＋β)＝；T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβtanα＋tanβ1－tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝＝；基础知识梳理T2α：tan2α＝.2sinαcosα1－2sin2α2cos2α－12tanα1－tan2α1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()三基能力强化A.711B．－711C.713D．－713答案：B三基能力强化2．已知sinα＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α的值等于()A．－34B．－32C.34D.32答案：B三基能力强化3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝()A．－12B.12C．－32D.32答案：B三基能力强化4．(教材习题改编)已知sinα＝35，cosβ＝－45，α∈(π2，π)，β∈(π，3π2)，则sin(α－β)＝________.答案：－2425三基能力强化5．若cosα＝12，其中α∈(－π2，0)，则sinα2的值是________．答案：－12一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．有时还可逆用、变形运用公式．课堂互动讲练考点一给角求值问题课堂互动讲练例1求值：sin50°(1＋3tan10°)－cos20°cos80°1－cos20°.【思路点拨】首先把切函数化为弦函数，同时把根号去掉．课堂互动讲练【解】∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝1，【名师点评】在利用二倍角的余弦时，注意选用公式．课堂互动讲练cos80°1－cos20°＝sin10°2sin210°＝2sin210°.∴sin50°(1＋3tan10°)－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．课堂互动讲练考点二给值求值问题课堂互动讲练(3)常见的配角技巧α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－(π4－α)．课堂互动讲练例2已知0βπ4α34π，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．课堂互动讲练【思路点拨】比较题设中的角与待求式中的角，不难发现(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)或将cos(π4－α)变化为sin(π4＋α)，再由(π4＋α)＋(3π4＋β)＝π＋(α＋β)求解．课堂互动讲练【解】∵π4α3π4，∴－3π4－α－π4，－π2π4－α0.又∵cos(π4－α)＝35，∴sin(π4－α)＝－45.∵0βπ4，∴3π43π4＋βπ.又∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，课堂互动讲练∴sin(α＋β)＝－cos[π2＋(α＋β)]＝－cos[(3π4＋β)－(π4－α)]＝－cos(3π4＋β)cos(π4－α)－sin(3π4＋β)sin(π4－α)＝－(－1213)×35－513×(－45)＝3665＋2065＝5665.课堂互动讲练误区警示】在做题时，有时忽略求π4－α，3π4＋β的范围，还有不能正确判断两角的范围．在例2条件不变的情况下，求cos(α－β)的值．课堂互动讲练互动探究解：∵π4α3π4，∴－3π4－α－π4，－π2π4－α0.又∵cos(π4－α)＝35，∴sin(π4－α)＝－45.课堂互动讲练∵0βπ4，∴3π43π4＋βπ.又∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213.∴cos(α－β)＝cos(β－α)＝－cos[π＋(β－α)]＝－cos[(3π4＋β)＋(π4－α)]课堂互动讲练＝－cos(3π4＋β)cos(π4－α)＋sin(3π4＋β)sin(π4－α)＝－(－1213)×35＋513×(－45)＝3665－2065＝1665.已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；课堂互动讲练考点三给值求角课堂互动讲练(3)根据角的范围写出所求的角．其中在第二步中，具体选用哪个三角函数，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数；若角范围是(0，π2)，正、余弦函数均可；若角范围是(0，π)时，一般选余弦函数；若是(－π2，π2)，则一般选正弦函数等．课堂互动讲练例3已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．【思路点拨】观察角2α－β与角α－β和角β的关系，可以看出2α－β＝2(α－β)＋β，同时从三角函数名可以想到求tan(2α－β)即可．课堂互动讲练课堂互动讲练【解】∵tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43.又∵2α－β＝2(α－β)＋β，且tanβ＝－17，∴tan(2α－β)＝tan2(α－β)＋tanβ1－tan2(α－β)tanβ＝1.∵α，β∈(0，π)且tanβ＝－17＜0，课堂互动讲练tanα＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)tanβ＝13∈(0,1)．∴0＜α＜π4，π2＜β＜π，∴0＜2α＜π2，－π＜－β＜－π2，∴－π＜2α－β＜0.而在(－π，0)内使正切值为1的角只有一个－3π4.∴2α－β＝－34π.课堂互动讲练【误区警示】本题中若由tan(2α－β)＝1直接得出2α－β＝π4，是最容易犯的错误，原因是忽视了2α－β的有效范围．课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(12，－12)．(1)若a·b＝22，a·c＝3－14，求角2β－α的值；(2)若a＝b＋c，求tanα的值．课堂互动讲练【思路点拨】(1)由a·b＝22，a·c＝3－14，及a，b，c的坐标，可求出关于α、β的三角函数值，进而求出角．(2)由a＝b＋c可求出关于α、β的三角恒等式，利用方程的思想解决问题．课堂互动讲练【解】(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝22.①a·c＝(cosα，sinα)·(12，－12)＝12cosα－12sinα＝3－14.②2分课堂互动讲练又∵0απ2，0βπ2，∴－π2α－βπ2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.4分由α、β为锐角可得β＝5π12.从而2β－α＝23π.6分课堂互动讲练(2)由a＝b＋c可得cosβ＝cosα－12，③sinβ＝sinα＋12，④③2＋④2得cosα－sinα＝12，∴sin2α＝34.8分课堂互动讲练又∵sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝34，∴3tan2α－8tanα＋3＝0.10分又∵α为锐角，∴tanα0，∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.12分【规律小结】(1)已知三角函数值求角，一定要注意角的范围．(2)求解三角函数有关的问题，有时构造等式，用方程的思想解决更简单、实用．课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅(本题满分12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2β0απ2，且sinβ＝－513，求sinα的值．课堂互动讲练解：(1)∵|a－b|＝255.∴a2－2a·b＋b2＝45.2分又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．∴cos(α－β)＝2－452＝35.4分课堂互动讲练(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.由(1)得cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.8分又sinβ＝－513，∴cosβ＝1213.9分∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.12分1．和、差、倍角公式之间的关系两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他公式均是在C(α－β)公式的基础上借助角的代换和诱导公式推导出来的．规律方法总结规律方法总结2．求值题常见类型(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，利用公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．规律方法总结(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．规律方法总结3．灵活运用角的变形和公式的变形，如：2α＝α＋β＋(α－β)，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)等．另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论．规律方法总结随堂即时巩固点击进入课时活页训练点击进入