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【考纲下载】1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系(1)公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：如果两个平面(不重合的两个平面)有，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．两点一个公共点1．平面的基本性质(3)公理3：经过的三点，有且只有一个平面．推论1：经过，有且只有一个平面．推论2：经过，有且只有一个平面．推论3：经过，有且只有一个平面．不在同一条直线上一条直线和这条直线外一点两条相交直线两条平行直线【思考】试试看，你能说出公理2的作用有哪些？答案：它的作用有五个：①判定两个平面相交；②证明点在直线上；③证明三点共线；④证明三线共点；⑤画两个相交平面的交线．直线与直线的位置关系(1)(2)(3)异面①定义：不同在一个平面内②异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．③范围：平行相交任何锐角或直角2．提示：要弄清楚“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在两个平面内的两条直线”这两种说法的区别．前者所指的两条直线是异面直线，后者所指的两条直线不一定是异面直线．3．直线与平面的位置关系平行相交在平面内4．平面与平面的位置关系平行相交5．平行公理：平行于的两条直线互相平行．同一条直线若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分解析：如图所示，三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．答案：C1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．答案：C2．给出下列命题：①和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．33．解析：和某一直线都相交的两条直线可以异面；三条两两相交的直线若交于同一点，则可以异面；有三个不同公共点的两个平面可以是相交；两两平行的三条直线可能共面．答案：A下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．4．解析：在④选项中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如右图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．答案：①②③1.证明点共线时，一般都是将点看成是两个相交平面的公共点，根据公理2就可以证明了．2．证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上，也可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明点在直线上．如图，已知空间四边形(四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形)ABCD，平面四边形EFGH的顶点分别在空间四边形的各边上，若EF与GH不平行．求证：直线EF、GH、BD共点．思维点拨：先确定EF∩GH＝P，再证P∈BD.【例1】设EF∩GH＝P①连结BD，由①②可知EF、GH、BD共点证明：⇒EF与GH相交．如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线．证明：∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，所以B、D、O三点共线.变式1：证明点线共面的常用方法1．纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．2．辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．3．反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论．E、F分别是长方体AC1的棱A1A、C1C上的点，并且A1E＝CF，求证：B、F、D1、E四点共面．【例2】证明：如图所示，在棱B1B上取点G使BG=A1E.∵A1A∥B1B，∴A1EBG是平行四边形，A1G∥BE.则A1GFD1是平行四边形．A1G∥D1F.∴BE∥D1F.∴BE和D1F确定一个平面，即B、F、D1、E四点共面.判定空间两条直线是异面直线有两种方法：(1)定义法；(2)反证法．如右图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【例3】思维点拨：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1中点，可证明MN∥AC，因此AM与CN不是异面直线．(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．解：(1)不是异面直线．理由：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点．∴MN∥A1C1，又∵A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，∴B∈面CC1D1D，这与ABCD—A1B1C1D1是正方体相矛盾．∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.【方法规律】主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分点或直线确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线．1．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线平行、相交不可能或证明两线共面不可能，从而可得两线异面.2．(12分)已知在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，点E、F分别是边BC和AD上的点，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝如图所示，求异面直线AB和CD所成角的大小．【阅卷实录】【教师点评】【规范解答】在△BCD中，⇒EG∥DC2分同理在△ABD中，GF∥AB4分∴EG和FG所成的锐角(或直角)就是异面直线AB和CD所成的角．(∠EGF就是AB与CD所成的角或其补角)6分解：在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，1分在△BCD中，由GE∥CD，CD=3，=，得EG=1.在△ABD中，由FG∥AB，AB=3，=，得FG=2.在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=由余弦定理，得cos∠EGF＝.10分∴∠EGF＝120°，∴AB与CD所成角为60°.12分【状元笔记】因为异面直线所成角θ的取值范围是0°θ≤90°，所以当在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．求异面直线所成的角，通常通过平移或放缩，将两条异面直线转化为三角形中的两边所成的角．