高中数学总复习提纲

第一章集合与简易逻辑集合及其运算一．集合的概念、分类：二．集合的特征：⑴确定性⑵无序性⑶互异性三．表示方法：⑴列举法⑵描述法⑶图示法⑷区间法四．两种关系：从属关系：对象、集合；包含关系：集合、Ü集合五．三种运算：交集：{|}ABxxAxB且并集：{|}ABxxAxB或补集：UA{|U}xxxA且ð六．运算性质：⑴AA，A．⑵空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．⑶若BA，则ABA，ABB．⑷UAA（）ð，UAA（）ðU，UUA（）痧A．⑸UUAB（）（）痧UAB（）ð，UUAB（）（）痧UAB（）ð．⑹集合123{,,,,}naaaa的所有子集的个数为2n，所有真子集的个数为21n，所有非空真子集的个数为22n，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为2nC．简易逻辑一．逻辑联结词：1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题．2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．4．真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二．四种命题：1．原命题：若p则q逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论；否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．2．四个命题的关系：⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真．三．充分条件与必要条件1．“若p则q”是真命题，记做pq，“若p则q”为假命题，记做pq¿，2．若pq，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件3．若pq，且pq¾，则称p是q的充分非必要条件；若pq¿，且pq，则称p是q的必要非充分条件；若pq，且pq，则称p是q的充要条件；若pq¿，且pq¾，则称p是q的既不充分也不必要条件．4．若p的充分条件是q，则qp；若p的必要条件是q，则pq．第二章函数指数与对数运算一．分数指数幂与根式：如果nxa，则称x是a的n次方根，0的n次方根为0，若0a，则当n为奇数时，a的n次方根有1个，记做na；当n为偶数时，负数没有n次方根，正数a的n次方根有2个，其中正的n次方根记做na．负的n次方根记做na．1．负数没有偶次方根；2．两个关系式：()nnaa；||nnanaan为奇数为偶数3、正数的正分数指数幂的意义：mnmnaa；正数的负分数指数幂的意义：1mnnmaa．4、分数指数幂的运算性质：⑴mnmnaaa；⑵mnmnaaa；⑶()mnmnaa；⑷()mmmabab；⑸01a，其中m、n均为有理数，a，b均为正整数二．对数及其运算1．定义：若baN(0a，且1a，0)N，则logabN．2．两个对数：⑴常用对数：10a，10loglgbNN；⑵自然对数：2.71828ae，loglnebNN．3．三条性质：⑴1的对数是0，即log10a；⑵底数的对数是1，即log1aa；⑶负数和零没有对数．4．四条运算法则：⑴log()loglogaaaMNMN；⑵logloglogaaaMMNN；⑶loglognaaMnM；⑷1loglognaaMMn．5．其他运算性质：⑴对数恒等式：logabab；⑵换底公式：logloglogcacabb；⑶logloglogababcc；loglog1abba；⑷loglogmnaanbbm．函数的概念一．映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．二．函数：在某种变化过程中的两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做()yfx，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域．三．函数()yfx是由非空数集A到非空数集B的映射．四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．函数的解析式一．根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知xxxf2)1(，求函数)(xf的解析式．二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知()fx是一次函数，且[()]43ffxx，函数)(xf的解析式．三．由函数)(xf的图像受制约的条件，进而求)(xf的解析式．函数的定义域一．根据给出函数的解析式求定义域：⑴整式：xR⑵分式：分母不等于0⑶偶次根式：被开方数大于或等于0⑷含0次幂、负指数幂：底数不等于0⑸对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0二．根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知()yfx定义域为]5,2[，求(32)yfx定义域；已知(32)yfx定义域为]5,2[，求()yfx定义域；三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．函数的值域一．基本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数ykxbR二次函数2yaxbxc0a时，24[,)4acba0a时，24(,]4acba反比例函数kyx{|yyR，且0}y指数函数xya{|0}yy对数函数logayxR三角函数sinyxcosyx{|11}yytanyxR二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．反函数一．反函数：设函数()yfx()xA的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到()xy．若对于C中的每一y值，通过()xy，都有唯一的一个x与之对应，那么，()xy就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数()xy()yC叫做函数()yfx()xA的反函数，记作1()xfy,习惯上改写成1()yfx．二．函数()fx存在反函数的条件是：x、y一一对应．三．求函数()fx的反函数的方法：⑴求原函数的值域，即反函数的定义域⑵反解，用y表示x，得1()xfy⑶交换x、y，得1()yfx⑷结论，表明定义域四．函数()yfx与其反函数1()yfx的关系：⑴函数()yfx与1()yfx的定义域与值域互换．⑵若()yfx图像上存在点(,)ab，则1()yfx的图像上必有点(,)ba，即若()fab，则1()fba．⑶函数()yfx与1()yfx的图像关于直线yx对称．函数的奇偶性：一．定义：对于函数()fx定义域中的任意一个x，如果满足()()fxfx，则称函数()fx为奇函数；如果满足()()fxfx，则称函数()fx为偶函数．二．判断函数()fx奇偶性的步骤：1．判断函数()fx的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2．验证()fx与()fx的关系，若满足()()fxfx，则为奇函数，若满足()()fxfx，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．三．已知()fx、()gx分别是定义在区间M、N()MN上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．()fx()gx()fx1()fx()()fxgx()()fxgx()()fxgx奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶五．若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f．六．一次函数ykxb(0)k是奇函数的充要条件是0b；二次函数2yaxbxc(0)a是偶函数的充要条件是0b．函数的周期性：一．定义：对于函数)(xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()fxTfx，则)(xf为周期函数，T为这个函数的一个周期．2．如果函数)(xf所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(xf的最小正周期．如果函数()fx的最小正周期为T，则函数()fax的最小正周期为||Ta．函数的单调性一．定义：一般的，对于给定区间上的函数()fx，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1x，2x，当12xx时满足：⑴12()()fxfx，则称函数()fx在该区间上是增函数；⑵12()()fxfx，则称函数()fx在该区间上是减函数．二．判断函数单调性的常用方法：1．定义法：⑴取值；⑵作差、变形；⑶判断：⑷定论：*2．导数法：⑴求函数f(x)的导数'()fx；⑵解不等式'()0fx，所得x的范围就是递增区间；⑶解不等式'()0fx，所得x的范围就是递减区间．3．复合函数的单调性：对于复合函数[()]yfgx，设()ugx，则()yfu，可根据它们的单调性确定复合函数[()]yfgx，具体判断如下表：()yfu增增减减()ugx增减增减[()]yfgx增减减增4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．函数的图像一．基本函数的图像．二．图像变换：()yfx()yfxk将()yfx图像上每一点向上(0)k或向下(0)k平移||k个单位，可得()yfxk的图像()yfx()yfxh将()yfx图像上每一点向左(0)h或向右(0)h平移||h个单位，可得()yfxh的图像()yfx()yafx将()yfx图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸(1)a或压缩(01)a为原来的a倍，可得()yafx的图像()yfx()yfax将()yfx图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩(1)a或拉伸(01)a为原来的1a，可得()yfax的图像()yfx()yfx关于y轴对称()yfx()yfx关于x轴对称()yfx(||)yfx将()yfx位于y轴左侧的图像去掉，再将y轴右侧的图像沿y轴对称到左侧，可得(||)yfx的图像()yfx|()|yfx将()yfx位于x轴下方的部分沿x轴对称到上方，可得y|()|fx的图像三．函数图像自身的对称关系图像特征()()fxfx关于y轴对称()()fxfx关于原点对称()()faxfxa关于y轴对称()()faxfax关于直线xa对称()()fxfax关于直线2ax轴对称()()faxfbx关于直线2abx对称()()fxfxa周期函数，周期为a四．两个函数图像的对称关系图像特征()yfx与()yfx关于y轴对称()yfx与()yfx关于x轴对称()yfx与()yfx关于原点对称()yfx与1()yfx关于直线yx对称()yfxa与()yfax关于直线xa对称()yfax与()fax关于y轴对称第三章数列数列的基本概念一．数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项．二．如果数列{}na中的第n项na与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式．三．数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列按项数可分为有穷数列和无穷数列四．数列的前n项和：1231nnnSaaaaanS与na的关系：1112nnnSnaSSn五．如果已知数列{}na的第1项(或前几项)，且任一项na与它的前一项1na(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一