高中数学数列 等差数列

菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第二节等差数列菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．等差数列(1)定义：___________________________．(2)通项公式：________________，an＝am＋_________．(3)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋an）2.(4)a、b的等差中项A＝_____．a＋b2an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)an＝a1＋(n－1)d(n－m)d菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝________＝____．(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为___．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．ap＋aq2akkd菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．三个数成等差数列且知其和时，一般设为a－d，a，a＋d，四个数成等差数列且知其和时，怎样设好呢？【提示】可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.1．A＝a＋b2是a，A，b成等差数列的什么条件？【提示】充要条件．若A＝a＋b2⇔2A＝a＋b⇔A－a＝b－A⇔a，A，b成等差数列．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(人教A版教材习题改编)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()A．18B．20C．22D．24【解析】由S10＝S11得10a1＋10×92×(－2)＝11a1＋11×102×(－2)解得a1＝20.【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．18【解析】由题意，公差d＝a3－a2＝2，∴a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.【答案】D菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20D．24【解析】∵{an}是等差数列，∴a2＋a10＝a4＋a8＝16.【答案】B菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________．【解析】∵am－1＋am＋1＝2am，∴2am－a2m＝0，则am＝2，am＝0(舍)，又S2m－1＝（2m－1）（a1＋a2m－1）2＝(2m－1)am＝2(2m－1)＝38.解之得m＝10.【答案】10菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．【解析】设自上第一节竹子容量为a1，则第9节容量为a9，且数列{an}为等差数列．则a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4.解之得a1＝1322，d＝766，故a5＝a1＋4d＝6766.【答案】6766菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)∵an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1，∴bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝1（2－1an）－1－1an－1＝anan－1－1an－1＝1.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）又b1＝1a1－1＝－52.∴数列{bn}是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.设f(x)＝1＋22x－7，则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第(2)小题，通过{bn}是等差数列，求得{an}的通项，然后利用函数的单调性求数列的最大(小)项．2．证明数列{an}为等差数列有两种方法：(1)证明an＋1－an＝d(常数)．(2)证明2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：{1Sn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】(1)证明∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．又1S1＝1a1＝2，故数列{1Sn}是以2为首项，以2为公差的等差数列．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)由(1)知1Sn＝1S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝12n.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－12n（n－1），又∵a1＝12，不适合上式，∴an＝12，n＝1，－12n（n－1），n≥2.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)由S2＝a3求{an}的公差d，进而代入求a2与Sn；(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根据方程Sk＝－35，求k值．(1)(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝12，S2＝a3，则a2＝________，Sn＝________．(2)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.①求数列{an}的通项公式；②若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)由S2＝a3，得a1＋a2＝a3，∴d＝a3－a2＝a1＝12，因此a2＝a1＋d＝1，Sn＝n24＋n4.【答案】1n24＋n4(2)①设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，a3＝－3，得1＋2d＝－3，∴d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.②由①知an＝3－2n，∴Sn＝n[1＋（3－2n）]2＝2n－n2，由Sk＝－35得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5，又k∈N*，故k＝7.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．3．等差数列的通项公式形如an＝an＋b(a，b为常数)，前n项和公式形如Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2012·山东高考)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解】(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，由T5＝105，a10＝2a5，得5a1＋5×（5－1）2d＝105，a1＋9d＝2（a1＋4d），解得a1＝7，d＝7.因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．(2)对m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1.所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝b1（1－qm）1－q＝7×（1－49m）1－49＝7×（72m－1）48＝72m＋1－748.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)S11＝11（a1＋a11）2＝11（a4＋a8）2＝88.【答案】B(2)由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝n（a1＋an）2＝324，∴18n＝324，∴n＝18.由a1＋an＝36，n＝18.∴a1＋a18＝36，从而a9＋a10＝a1＋a18＝36.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质，本例(1)、(2)都用到了这个性质．2．掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(1)(2012·合肥四校质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＝25π，则tana8的值是()A.3B．－3C.33D．－33(2)(2013·广州质检)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A．10B．20C．30D．40菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解析】(1)由题意得S15＝15（a1＋a15）2＝15a8＝25π，∴a8＝5π3，∴tana8＝tan5π3＝tan(π＋2π3)＝tan2π3＝－3.(2)设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.【答案】(1)B(2)A菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得