遂宁市高中2015届零诊考试数学理科试题11.25

高三数学（理科）试题第1页（共15页）遂宁市高中2015届零诊考试数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题，满分50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3．考试结束后，将答题卡收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．已知集合12,1RAxxBxxACB，则=A.1xxB.1xxC.2xxD.2xx2．复数512iiA．2iB．2iC．12iD．12i3．设Rba,,则“4ba”是“2,2ba且”的A．必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4.在等差数列{}na中，452,4aa，记na的前n项和为nS，则8S高三数学（理科）试题第2页（共15页）A．12B．16C.24D．485.已知,mn表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A．若//m，//n，则//mnB．若m，n，则mnC．若m，mn，则//nD．若//m，mn，则n6.执行下面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是A．120B．720C．1440D．50407.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2fxx的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么(1)fA．-1B．1C．3D．38.若函数01xxfxkaaaa且在，上既是奇函数又是增函数，则logagxxk的图象是高三数学（理科）试题第3页（共15页）ABCD9.某单位安排7位员工在星期一至星期日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在星期一，丁不排在星期日，则不同的安排方案共有A.504种B.960种C.1008种D.1108种10.定义函数348,12,2()1(),2.22xxfxxfx≤≤，则函数()()6gxxfx在区间1,64(n*)N内的所有零点的和为A．192B．189C．1894D．1892第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。11．21324241279log6log=▲12．已知向量,abrr的夹角为60°，且2,1abrr，则abrr▲13．设ABCV的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc.若2,bca且3sin5sin,AB则角C▲14．已知函数fx对任意xR，都有60,fxfx函数1yfx的图像关于1,0对称,且24,f高三数学（理科）试题第4页（共15页）则2014f▲15．定义符号函数1,0sgn()0,0,1,0xxxx则下列说法正确的是▲（填上你认为所有正确的结论序号）①sgn()xxx；②设函数2()2,fxxx则方程()sgn()fxfxg=1有三个实根；③设函数()lgsgn(lg),fxxxg()(),,fafbab若则(2,)ab；④设函数()sgn()(1)sgn(1),fxxxxxg则函数()1)2fxy=(的单调递增区间是[1,)，值域为[2,).三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）设xR，函数2()cos(23sincos)sinfxxxxx.（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若12(),(),sin2263f求.▲17．（本小题满分12分）下图是从遂宁某中学参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生高三数学（理科）试题第5页（共15页）DFBCPEA体育成绩(均为整数)的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；并估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；（2）假设成绩在[80,90)内的学生中有23的成绩在85分以下(不含85分)，从成绩在[80,90)内的学生中选出三人，记在85分以上(含85分)的人数为X，求X的分布列及数学期望.▲18．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面,//,90,2,21,ABCDEFABBAFADABAFEFo点P在棱DF上．（1）若P为DF的中点，求证：BF//平面ACP；（2）若二面角DAPC的余弦值为63，求PF的长度．高三数学（理科）试题第6页（共15页）▲19.（本小题满分12分）已知定义在]1,1[x上的偶函数)(xf满足：当]1,0[x时，xxxf22)(.（1）求函数()fx在[1,1]x上的解析式；（2）设()62(0)gxaxaa,若对于任意]1,1[,21xx，都有)()(12xfxg成立，求实数a的取值范围．▲20．（本小题满分13分）设数列na的前n项和为nS，且1a=2，221nnSa.（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb的各项均为正数，且nb是nna与2nna的等比中项，求nb的前n项和为nT；（3）数列nc满足2136()1nnncab，nR为数列nc的前n项和，是否存在正整数,(1)mkmk),使得1,,mkRRR成等比数列，若存在，求出,mk的值，若不存在，请说明理由。▲高三数学（理科）试题第7页（共15页）21．（本小题满分14分）设函数()ln(1),()ln(1)1xfxaxgxxbxx.（1）若函数()fx在0x处有极值，求函数()fx的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式()0gx在0,上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式2111ln1,2,12nkknnk.▲高三数学（理科）试题第8页（共15页）遂宁市高中2015届零诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（5×10=50分）题号12345678910答案DBACBBAACD二、填空题（55=25分）11．-612.313．2π314.415．②③三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16．（本小题满分12分）解：（1）2()cos(23sincos)sinfxxxxx2223sincoscossinxxxx3sin2cos2xx2sin(2)6x………………3分由222,,262kxkkz解得,63kxkkz所以函数()fx的单调增区间是,63kkkz.………………6分（2）由1()2sin()262f得1sin()64由263得062高三数学（理科）试题第9页（共15页）215cos()1sin()664………………9分sinsin())66sin()coscos()sin6666=1315131542428………………12分17．（本小题满分12分）解：(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70,80)内的频率为4f=1－(0.01×2＋0.015＋0.020＋0.005)×10=0.4.………………2分频率分布直方图如右图………………4分依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为(0.02＋0.04＋0.01＋0.005)×10＝0.75，所以抽样学生成绩的及格率是75%………………5分(2)因为成绩在[80,90)内的人数＝0.01×10×60＝6，所以成绩在[80,85)和[85,90)内的人数分别为4人和2人．………………6分X的可能取值为0、1、2………………7分高三数学（理科）试题第10页（共15页）OBACDEFP3042361(0)5CCPXC2142363(1)5CCPXC1242361(2)5CCPXC……10分X的分布列为X012P153515131()0121555EX………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD对角线的交点，所以OP为三角形BDF中位线，所以BF//OP，因为BF平面ACP，OP平面ACP，所以BF//平面ACP．………………5分(2)因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，又因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，从而AF⊥AB，AF⊥AD因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．所以(0,0,0)A(1,0,0)B(1,2,0),(0,0,1)CF………………7分因为AB⊥平面ADF，所以平面DAP的法向量为1(1,0,0)nur．………………8分设P点坐标为(0,22,)tt，其中0＜t≤1在平面APC中，(0,22,)APttuuur，(1,2,0)ACuuur，高三数学（理科）试题第11页（共15页）zyxPFEDCAB所以平面APC的法向量为222(2,1,)tntuur，所以121212||cos,||||nnnnnnuruururuurguruur，2226322(2)1()tt解得23t，或2t（舍）．此时5||3PF．………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）设[1,0]x,则[0,1]x，因为()fx定义]1,1[x在偶函数，所以()fx()fx=22xx。所以22()22xxfxxx………………5分（2）因为对任意]1,1[,21xx，都有)()(12xfxg成立，所以max()fxmin()gx………………6分又因为()fx是定义在[1,1]上的偶函数，所以()fx在区间[1,0]和区间[0,1]上的值域相同。当[0,1]x时xxxf22)(，设2tx，则[1,2]t，[0,1][1,0]xx高三数学（理科）试题第12页（共15页）函数化为222ytt则max()3fx………………9分又min()36gxa所以363a1a故a的取值范围为（0,1）………………12分20．（本小题满分13分）解：（1）当n≥2时，由221nnSa，得221nnSa，两式相减得nnnnnaSSaa2)(211，故)2(31naann，当1n时，62222112aSa，此时312aa，故当1n时，31nnaa，则数列na是首项为2，公比为3的等比数列，∴132nna.………………4分(没有检验当1n时扣1分)（2）nnnnnnnnnananb323232112.………………8分所以)3...3231(212nnnT.则nnnT3...333