开放探索型课堂教学有效性的研究

广州市第十三中学数学科汤俭[引例1]:某一次函数的图象经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减小，请你写一个符合上述条件的函数关系式。（只写一个函数关系式，不必考虑所有的情形）BCAD[引例2]:如图1，∠ABC=∠DCB,请补充一个条件，使△ABC≌△DCB.[引例3]:已知：四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,给出下列5个条件：①AB//CD②OA=OC③AB=CD④∠BAD=∠DCB⑤AD//BC.从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）：开放探索题是近年来中考命题中的一个新方向，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题按解题目标的操作模式分为规律探索型、数学建模型、操作设计型、问题探索型等；按未知的是解题假设、解题目标、解题推理来分，有条件开放题、结论开放题、策略开放题、组合开放题。开放探索题本身具有多种开放性：包括条件的开放、问题的开放、解题策略的开放、以及答案的开放，因而在思维训练中有其独特的作用：1、激励作用：唤起兴趣，产生激励思维的内驱力。2、磨砺作用：要求我们对结论作出大胆的合理猜想，在解题方法上能出奇制胜，别出心裁。从专业角度说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学使学生获得发展。发展就其内涵而言，指的是知识、技能，过程、方法与情感、态度、价值观三者（三维目标）的协调发展。通俗地说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学活动，学生在学业上有收获，有提高，有进步。“课堂教学的有效性特征（或表现）最核心的一点是看学生是否愿意学、主动学以及怎么学、会不会学”。（一）、改造课本的例题习题，使之具有开放性将一些条件、结论完整的例题改造成给出条件，先猜结论，再进行证明的形式；也可以改造给出多个条件，需要整理、筛选以后才能求解或证明的题目；还可以改造成要求运用多种解法或得出多个结论的题目，以加强发散式思维的训练。此外，将题目的条件、结论拓广，使其演变为一个发展性问题，或给出结论，再让学生探求条件等，都是使常规性题目变为开放题的有效方法。8)20(510xx12x【例1】《华东师大版》八年级（下）P62问题2的研究解答在科学与艺术知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛，育才中学25名学生通过了预选赛，他们分别可能答对了多少道题？解：设通过预选赛的学生可能答对了x道题，则答错或不答的题有（20-x）道，由题意，得解得：所以，这些学生可能答对的题目数是12,13,14,15,16,17,18,19,20除了上述解法外，你还有没有其他方法？8020015x8x18015x12x设至少答错或不答道x题，由题意即得因此可设至少答对x道题，由题意，得解得所以，可能答对的题目为12,13,14,15,16,17,18,19,20道。方法1即至少答对12道题，所以答对的题目是12,13,14,15,16,17,18,19,20道方法2ABDCEF【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）1、连结2、猜想：3、证明：此题改编于《华东师大版课本》八年级上P37例5【例3】如图，AB是⊙O的直径，BD=OB,∠CAB=30°,请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO=BO=BD外）①②③DABCO此题改编于《华东师大版课本》九年级上P58练习3（二）、利用一题多变，一题多解，多题同法拓宽学生的思维空间解开放性问题的关键是牢固掌握基础知识，加强“一题多解”，“一题多变”，“一题多用”，“多题同法”，“多题同果”等的训练，经过归纳、类比、模拟、联想等推理的手段，得出正确的结论。开放性问题有利于激发创新意识，启迪创新思维，培养创新精神，也是中考命题的一个热点。一题多变【例4】22131aaaa，求已知224131aaaaa，求已知131242aaaaa，求已知aaaa111122，求已知44121aaaa，求已知22131aaaa，求已知1712422aaaaaa，求已知4421015aaaa，求已知变形1：变形2：变形3：变形4：变形5：变形6：变形7：此题改编于《华东师大版课本》九年级上P24复习题17【例5】已知点E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点，请判断四边形EFGH的形状?并做进一步的思考。1.当满足什么条件时，四边形EFGH是菱形?矩形？正方形？2.已知点D,E,F分别是三角形ABC各边的中点，那么，①当满足什么条件时，三角形DEF是等腰三角形?②当满足什么条件时，三角形DEF是等边三角形?③当满足什么条件时，三角形DEF是直角三角形?④当满足什么条件时，三角形DEF是等腰直角三角形?变化：此题改编于《华东师大版课本》九年级下P62《课题学习:中点四边形》【例6】如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F,（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；CFDAEB（2）如图2，当点E运动到CE:ED=2:1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（3）如图3，当点E运动到CE:ED=3:1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（4）当点E运动到CE:ED=n:1时(n为正整数时)，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比；（不用计算，只写结果）（5）请你利用上述图形，提出一个类似的问题。变化：一题多解132x132xx【例7】当时，求的值。13x31x333)3(3)1()1(2)1(132222xxxxxx解法一：直接代入计算，这是笨拙的解法；解法二：先进行分母有理化，得然后再代入；解法三：条件变为解法四：31x0222xx两边平方得3)1(0)1()22(1322xxxxxx【例8】有一块长16米，宽12米的矩形荒地，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能设计方案吗？211216)212)(216(xx2,120)2)(12(,02414212xxxxxx2x解法1：设小路的宽为x米则整理得检验：因为小路的宽度为12米，符合所列方程，但荒地的宽度为12米，小路的宽不可能是12米，因此它不是实际问题的解，应舍去，取1612212x舍去负值）(5.5,96xx分析2：其中花园每个角的扇形都相同。解法2：因为4个相同的扇形的面积之和恰为一个圆的面积，且其半径为x米由题意：解得所以扇形半径约为5.5米。此题改编于《华东师大版课本》九年级上P38练习7【例8】有一块长16米，宽12米的矩形荒地，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能设计方案吗？分析3：设计如图解法3：由题意，121621)12(16211216)12)(16(xxxxx或者解得x=4当然，符合条件的设计方案是多种多样的。多题同解【例9】（1）k取何值时对任意实数x，代数式（2）k取何值时，方程（3）k为何值时，对任意实数x，不等式（4）k为何值时，函数?01)3(22的值都大于xkxx没有实数根？01)3(22xkxx恒成立？010)3(22xkxx轴的上方？的图像全部在xxkxxy1)3(22（三）、设计“开放型”的训练题，拓宽学生的创新空间1、条件开放型问题【例10】如图，OA是△ABC的中线，要使⊙O与AB边相切于点D（1）要使⊙O与AC边相切，应增加条件:（任写一个）（2）增加条件后，请你证明⊙O与AC边相切EODCBAABCAEBFEGFHAC图1HGABCEFBGCHAFE图2图3BCGHEFAPAGCBHFE【例11】己知点E、F在的边AB所在的直线上，且FH//EG//AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．⑴如图l，如果点E、F在边AB上，那么⑵如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_______________；⑶如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是_________；对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．2、结论开放型问题3、方案设计开放型问题【例12】如图所示，把边长为2厘米的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并按实际大小画出拼后的图形来。（1）不是正方形的菱形（2）不是正方形的矩形（3）梯形（4）不是矩形和菱形的平行四边形（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形【例13】如图，在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一条直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写出一个真命题，并加以证明。①AB=DE②AC=DF③∠ABC=∠DEF④BE=CF4、组合开放型问题FDABCE（四）生活永远是开放型应用题永不枯竭的源泉【例14】上海现行的出租车收费标准是：当路程不超过3千米但不超过10千米时，超过部分的单价2元/千米（不足1千米按1千米计算）；当路程超过10千米时，超过部分的单价为3元/千米（不足1千米按1千米计算），夜23点至第二天凌晨5点加收30%。请讨论利用中途换乘出租车的依法以节省费用的可能性。1．在学习时，应当允许学生在学习过程中存在一定的“路径差”。2．在学习中，要给学生充分的思考时间和活动空间。3．应选择好联系实际的开放题，题量和难度要合适。4．在编制开放题时，要掌握适度。5．适度开展数学开放题教学6．在评价学生时不要过分追求完整的答案。