开方表演示

构造开方表算法研究No1组小组成员：陈林林李杰李雅琪甄珠赵婷婷李曼席彦青彭楠李瀚明王芳构造开方的意义•开方运算•是科学计算以及中学数学学习过程中的一种常见的运算形式•是学习和工程实践中经常需要完成的一类基本操作，实际运算近似值，不易操作，故实际操作过程中不同的数值解算法，在误差分析的基础上，对不同指数的开根号运算给出一个可行的开方表，某个数据开根号运算的结果通过查阅该开方表获得。•目的通过查阅资料，•利用计算方法课程中所学习过的误差分析、数值逼近（函数插值、函数逼近等）、方程求根等算法知识点，给出自己的数值求解算法，构造出自己的开方表，并进行一定的误差分析；•进一步，在给定假设误差的前提下，讨论新的算法，探讨获得满足误差要求开方表的条件和可行算法。我们的目的是：得到开方表目录•起源于发展•手工运算开方•中学里的开方运算•我们的成果一、起源与发展•2大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。一、起源与发展•到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。一、起源与发展•今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！一、起源与发展•1第一次数学危机毕达哥拉斯悖论（公元前500年）无理数的产生22222公元前370年毕氏学派的欧多克斯给比例下新定义。欧多克斯和狄德金1872年无理数的解释美索不达米亚人长于计算，这不只是与他们优良的记数系统有关。美索不达米亚的学者还表现出发展程序化算法的熟练技巧。他们创造了许多成熟的算法，开方根计算就是有代表性的例子之一。这种开方程序既简单又有效：设是所求平方根，并设是这根的首次近似；由方程求出第二次近似，若偏小，则偏大，反之亦然。取算术平均值为下一步近似，因为总是偏大，再下一步近似必偏小，取算术平均值将得到更好的结果。这一程序实际上可以无限继续下去。耶鲁大学收藏的一块古巴比伦泥板（编号7289），其上载有的近似值，结果准确到六十进制三位小数，用现代符号写出来是1.414213，是相当精确的逼近。ax1a11/aab1b1a1b)(21112baa2a22/aab)(21223baa2二、笔算开ｎ次方根的方法•原理：•设被开方数为Ｘ，开ｎ次方，设前一步的根的结果为ａ，现在要试根的下一位，设为ｂ，则有：（10*a+b）^n-(10*a)^n=c.(前一步的差与本段的合成)，且b取最大值，正整数。二、笔算开ｎ次方根的方法•算法：•1．从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数从小数点起向右每隔两位一节，用“，”号将各节分开；•2．求不大于左边第一节数的平方根，为平方根最高上的数；•3．从左边第一节数里减去求得的最高位上的数的平方，在它们的差的右边写上第二节数作为第一个余数；•4．把商的最高位上的数乘20去试除第一个余数，所得的是整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)；•5．用最高位的数乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，这个试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止；•6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。二、笔算开ｎ次方根的方法•实例1•开平方根的办法是，首先将130321这个数从个位起两位两位的分组：13,03,21。再从最高位（或最高两位）开始试平方根的最高位，由于3^2134^2，所以应该商3，再用13-3^2=4，再将4与后面两位03，组成一个新数403作为被除数，用20（这是一个固定的数，以后经常用到）乘以第一次试的商3得到60作为除数试商（假设试出的商为a），则必须满足(60+a)*a=403，且a是最大的一个符合上述条件的数，则a=6。再用403-66*6=7，再用7与最后两位21组成一个新数721作为被除数，用20乘以前两次试的商组成的数36的乘积（即720）作为除数来试商（假设商b），需要满足(720+b)*b=721，则b=1，刚好除尽。所以这样笔算出来的结果是361。二、笔算开ｎ次方根的方法•实例2•2673.56开3次方根。•①2，673.560，000，…（将被开方数以小数点为中心，向两边每隔n位分段，用，表示，不足部分在两端用0补齐。）•②找b，条件是：（10a+b）^n-(10a)^n=c.•初值a=0,差c=2（最高段，从左向右算）•所以，b^n=2,即：b^3=2,切b取最大整数值，所以b=1.•下一个差c=2-1^3=1,与下一段合成，即：c=c*10^n+下一段=1*10^3+673=1673•③a=1(上一步b的值)，找下一个b,条件是：（10a+b）^n-(10a)^n=c,即：(10+b)^3-10^3=1673,且b取最大整值，所以b=3.•下一个差c=2673-13^3=476•C=c*10^n+下一段=476*10^n+560=476*10^3+560=476560二、笔算开ｎ次方根的方法•④a=13,找下一个b,•条件是：（10a+b）^n-(10a)^n=c•(130+b)^3-130^3=c=476560•(130+b)^3=2673560•b取最大值，所以b=8。•差c=2673560-138^3=45488•C=c*10^n+下一段合成=45488*10^3+0000=45488000•⑤a=138,找下一个b,•条件是：（10a+b）^n-(10a)^n=c•(1380+b)^3-(1380)^3=45488000•B取最大，所以b=7•所以，最后结果为13.87…二、笔算开ｎ次方根的方法•结论•以此原理不管是整数，小数，只要有意义，开几次方根都可以用这种方法进行笔算。三、中学里的开方运算•课标要求：三、中学里的开方运算三、中学里的开方运算•中学中所涉及的开方运算方法•利用计算器求立方根•平方表11^2=12112^2=14413^2=16914^2=19615^2=22516^2=25617^2=28918^2=32419^2=36120^2=40021^2=44122^2=48423^2=52924^2=57625^2=625三、中学里的开方运算•立方表1^3=12^3=83^3=274^3=645^3=1256^3=2167^3=3438^3=5129^3=72910^3=1000三、中学里的开方运算公式ⅰ)0,0(bababa)0()(2aaaaa2)0,0(babaab)0(aa)0(aa我们的成果•程序演示•开方表