2014高中数学 4-2-2 圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

4．2.2圆与圆的位置关系1．已知两圆C1和C2的半径分别为r1、r2，圆心距为d两圆相离⇔两圆相外切⇔两圆相交⇔两圆相内切⇔两圆内含⇔2．已知两圆x2＋y2＝1与x2＋y2＋2x－y＝0交于A、B两点，则直线AB方程为.dr1＋r2d＝r1＋r2|r2－r1|dr2＋r1d＝|r2－r1|0≤d|r2－r1|2x－y＋1＝03．试判断下列两圆的位置关系填空：(1)x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6x－28＝0．(2)x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－2x＋4y＝0．∵C1(－3,0)，r1＝13；C2(－3,0)，r2＝37，∴两圆内含．∵C1(2，－3)，r1＝13；C2(1，－2)，r2＝5，13－5|C1C2|＝213＋5，∴两圆相交．4．已知圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则a＝，∵C1(0,0)，r1＝1；C2(－4，a)，r2＝5，∴若|C1C2|＝r1＋r2＝6，则a＝±25；若|C1C2|＝r2－r1＝4，则a＝0.内含相交0或±25本节学习重点：圆与圆的位置关系．本节学习难点：圆的方程的综合问题．*2.过两圆交点的直线方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.②①－②得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③(1)若圆C1与C2相交，则③为过两圆交点的弦所在的直线方程．(2)若圆C1与C2半径相等，则③表示两圆的对称轴，事实上，可以证明直线③过两圆连心线的中点且与两圆连心线垂直．1．判断两圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝r21与C2：(x－c)2＋(y－d)2＝r22的位置关系，主要是用几何法．*3.圆系方程：①同心圆系：与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圆的方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.②相交圆系：过两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，λ＝－1时为两圆相交弦所在直线方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，特别此两圆相切时，此方程表示两圆的公切线方程．③过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)的交点的圆的方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋c)＝0.[例1]判断下列两圆的位置关系．(1)x2＋y2＋2x＝0与x2＋y2＋4y＝0.(2)x2＋y2＋x－2y＝0与x2＋y2－6x＋8y＋24＝0.[解析](1)圆心C1(－1,0)、C2(0，－2)，半径r＝1，R＝2，圆心距离d＝，R－rdR＋r，故两圆相交．(2)同(1)的方法可知两圆外离．[点评]判断两圆的位置关系一般用几何法，而不用代数法，因为用代数法计算量大，且联立方程组消元后，若只有一解，未必两圆相切(如圆x2＋y2＝4与(x－2)2＋y2＝9相交，但消去y后关于x的方程只有一解)．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，(1)若圆C1与圆C2相外切，则m＝________，(2)若圆C1与圆C2内含，则m的取值集合为________．[答案](1)－5或2(2){m|－2m－1}[解析]C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果C1与C2外切，则有(m＋1)2＋(m＋2)21，∴m2＋3m＋20，∴－2m－1，∴当m＝－5或m＝2时，C1与C2外切；当－2m－1时，C1与C2内含.(m＋1)2＋(m＋2)2＝3＋2，∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或2.(2)如果C1与C2内含，则有(m＋1)2＋(m＋2)23－2，[例2]已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[分析]因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程．利用勾股定理可求出两圆公共弦长．[解析]设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标是方程组①－②得3x－4y＋6＝0.∵A、B两点坐标都满足此方程，∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.又C1到直线AB的距离为d＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95.∴|AB|＝2r2－d2＝232－952＝245.即两圆的公共弦长为245.⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由．[解析]⊙A：(x－1)2＋(y－1)2＝9的圆心A(1,1)，半径r＝3，⊙B：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心B(－1，－1)，半径R＝2，∴两圆相交，⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减得－4x－4y－5＝0，即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．设两交点分别为C、D，则直线CD方程为：4x＋4y＋5＝0，∴两圆心之间的距离|AB|＝(1＋1)2＋(1＋1)2＝22，满足1|AB|5.点A到直线CD的距离为d＝|4×1＋4×1＋5|42＋42＝1382.由勾股定理，得：|CD|＝2DA2－d2＝29－16932＝2384.[点评]判断两圆相交的方法，常用两圆心之间的距离d与两圆半径的和及差的绝对值比较大小．即当|R－r|dR＋r时，两圆相交．求相交两圆的公共弦长及其方程一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得公共弦的方程，用勾股定理求弦长．[例3]求以两圆C1：x2＋y2＋2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x－5＝0的交点为直径的圆的方程．[分析]由圆系方程设出所求圆的方程．再结合圆心必在二圆公共弦上，而公共弦方程由二圆方程相减消去平方项得到．[解析]设过C1、C2交点的圆方程为：(x2＋y2＋2x－3)＋λ(x2＋y2－4x－5)＝0.整理得：(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2－4λ)x－(3＋5λ)＝0，其圆心－1－2λ1＋λ，3＋5λ2(1＋λ)在两圆C1、C2的公共弦所在直线3x＋1＝0上．∴－3·1－2λ1＋λ＋1＝0，∴λ＝27故所求圆的方程为9x2＋9y2＋6x－31＝0.[点评]1°公共弦为直径，∴圆心在公弦线上，又在连心线上，由此可得圆心坐标，半径为弦长的一半．2°可以先联立两圆的方程组成方程组解出交点坐标，然后由中点坐标公式和两点间距离公式求圆心和半径，但计算量较大．过圆x2＋y2＋2x－4y－5＝0和直线2x＋y＋4＝0的交点，且圆心在直线y＝x上的圆的方程为____________．[答案]x2＋y2－10x－10y－29＝0[解析]设圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－5＋λ(2x＋y＋4)＝0.即x2＋y2＋(2＋2λ)x＋(λ－4)y＋4λ－5＝0其圆心坐标为(－λ－1,2－λ2)，由圆心在直线y＝x上知2－λ2＝－λ－1∴λ＝－6，∴圆的方程为：x2＋y2－10x－10y－29＝0.解法探讨：1°过已知圆的圆心(－1,2)与已知直线2x＋y＋4＝0垂直的直线方程为y－2＝12(x＋1)．即x－2y＋5＝0经过所求圆的圆心，以下求半径：①(x－5)2＋(y－5)2＝r2与x2＋y2＋2x－4y－5＝0相减得直线方程为2x＋y＋4＝0，可得r2＝79.②由弦长、弦心距求r.③由圆系方程圆心求r.2°由直线与圆方程联立可解出两交点A、B坐标，因为圆心C在直线y＝x上，故可设C(x0，x0)，可由|CA|＝|CB|求出x0.[例4](1)求圆心为C(1,2)，且与定圆x2＋y2＝4相切的圆的方程．(2)求半径为1，且与定圆x2＋y2＝9相切的动圆圆心的轨迹方程．[解析](1)设所求圆半径为r，∵C点在圆x2＋y2＝4外，∴两圆外切时r＋2＝5，∴r＝5－2，圆方程为(x－1)2＋(y－2)2＝(5－2)2，两圆内切时，r－2＝5，∴r＝5＋2，∴圆方程为(x－1)2＋(y－2)2＝(5＋2)2.(2)设所求圆圆心C(x，y)，内切时有x2＋y2＝2，∴所求圆方程为x2＋y2＝4，同理外切时，所求圆方程为x2＋y2＝16.半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程为________．[解析]因为所求圆与直线y＝0相切且半径为4，所以设圆心坐标为O1(a,4)(或O1(a，－4))，且方程为(x－a)2＋(y－4)2＝42或(x－a)2＋(y＋4)2＝42，已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心为O2(2,1)，半径为3，[答案](x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16，或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16①若两圆外切，则|O1O2|＝3＋4＝7.∴(a－2)2＋(4－1)2＝72.(或(a－2)2＋(－4－1)2＝72)．∴a＝2±210(或a＝2±26)此时所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝42，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝42，或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝42，或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝42.②若两圆内切，则|O1O2|＝4－3＝1∴(a－2)2＋(4－1)2＝12或(a－2)2＋(－4－1)2＝12，但方程无解[点评]本题易形成下面错解：因为所求圆与直线y＝0相切且半径为4，所以设圆心的坐标O1(a,4)，且方程为(x－a)2＋(y－4)2＝42.又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝32.圆心为O2(2,1)，半径为3.即所求的圆不能与已知圆内切，故所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16，或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16，或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.错误的原因是：①圆与直线y＝0相切，圆半径为4，圆心的纵坐标不一定为4，也可以是－4；②两圆相切不一定是外切、也可能内切，故解题时考虑问题要周到细致．又由于两圆相切，则|O1O2|＝3＋4＝7.∴(a－2)2＋(4－1)2＝72.∴a＝2±210.故所求的圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝42.一、选择题1．若两圆x2＋y2＝m与x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是()A．m1B．m2C．1≤m≤121D．1m121[答案]C[解析]由|r2－r1|≤d≤r2＋r1得：|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121，故选C.用数形结合法，画图观察易得．2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案]B[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝0[答案]A[解析]直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A.[点评]两圆相交时，公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，故连心线所在直线就是弦AB的垂直平分线．二、填空题4．直线y＝x＋m与曲线x＝9－y2