2016-2018年三年全国卷高考数学真题之数列

第1页（共19页）2016-2018年三年高考数学真题全国卷数列部分1．（2018全国新课标Ⅰ理）记nS为等差数列na的前n项和.若3243SSS，12a，则5a（）A．12B．10C．10D．12答案：B解答：11111132433(3)24996732022adadadadadad6203dd，∴51424(3)10aad.2.（2018北京理）设na是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则na的通项公式为__________．【答案】63nan【解析】13aQ，33436dd，6d，36163nann．3．（2017全国新课标Ⅰ理）记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S，则{}na的公差为A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设公差为d，45111342724aaadadad，611656615482Sadad，联立112724,61548adad解得4d，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482aaSaa，即3416aa，则4534()()24168aaaa，即5328aad，解得4d，故选C.4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列na的首中·华.资*源%库ziyuanku.com项为1，公差不为0．若2a，3a，6a成等比数列，则na前6项的和为（）A．24B．3C．3D．8第2页（共19页）【答案】A【解析】∵na为等差数列，且236,,aaa成等比数列，设公差为d.则2326aaa，即211125adadad又∵11a，代入上式可得220dd又∵0d，则2d∴61656561622422Sad，故选A.6．（2017全国新课标Ⅰ理）记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S，则{}na的公差为A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设公差为d，45111342724aaadadad，611656615482Sadad，联立112724,61548adad解得4d，故选C.秒杀解析：因为166346()3()482aaSaa，即3416aa，则4534()()24168aaaa，即5328aad，解得4d，故选C.7.（2015福建文）若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于________．【答案】98.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列na的首中·华.资*源%库ziyuanku.com项为1，公差不为0．若2a，3a，6a成等比数列，则na前6项的和为（）A．24B．3C．3D．8【答案】A【解析】∵na为等差数列，且236,,aaa成等比数列，设公差为d.则2326aaa，即211125adadad又∵11a，代入上式可得220dd又∵0d，则2d∴61656561622422Sad，故选A.9.（2016全国Ⅰ理）已知等差数列na前9项的和为27,108a,则100a（）（A）100（B）99（C）98（D）97第3页（共19页）【答案】C【解析】：由已知,1193627,98adad所以110011,1,9919998,adaad故选C.考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一10．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B【解析】试题分析：设第n年的研发投资资金为na，1130a，则11301.12nna，由题意，需11301.12200nna，解得5n，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.考点：等比数列的应用.11．（2018全国新课标Ⅰ理）记nS为数列na的前n项和.若21nnSa，则6S_____________．答案：63解答：依题意，1121,21,nnnnSaSa作差得12nnaa，所以{}na为公比为2的等比数列，又因为11121aSa，所以11a，所以12nna，所以661(12)6312S.12.(2017北京理)若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22ab=_______.【答案】1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d和q，3138dq，求得2,3qd，那么221312ab.13.(2017江苏)等比数列{}na的各项均为实数,其前n项的和为nS,已知3676344SS,,则8a=.【答案】32【解析】当1q时，显然不符合题意；当1q时，3161(1)714(1)6314aqqaqq，解得1142aq，则7812324a.【考点】等比数列通项第4页（共19页）14.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS。【答案】21nn【解析】试题分析：设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有：1123434102adad，解得111ad，数列的前n项和111111222nnnnnnnSnadn,裂项有：1211211kSkkkk，据此：11111111221......21223111nkknSnnnn。15．（2017全国新课标Ⅲ理）设等比数列na满足121aa，133aa，则4a________．【答案】8【解析】na为等比数列，设公比为q．121313aaaa，即1121113aaqaaq①②，显然1q，10a，②①得13q，即2q，代入①式可得11a，3341128aaq．16．（2016北京理）已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若16a，350aa，则6=S_______..【答案】6【解析】试题分析：∵{}na是等差数列，∴35420aaa，40a，4136aad，2d，∴616156615(2)6Sad，故填：6．考点：等差数列基本性质.【名师点睛】在等差数列五个基本量1a，d，n，na，nS中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.17．（2016江苏）已知{}na是等差数列，{S}n是其前n项和.若21253,S=10aa，则9a的值是.【答案】20.【解析】由510S得32a，因此2922(2d)33,23620.dda考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如*1()(),(1,)22nmtnnaanaaSmtnmtnN、、及等差数列广义通项公式().nmaanmd第5页（共19页）18.（2016全国Ⅰ理）设等比数列na错误!未找到引用源。满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．【答案】64【解析】试题分析：设等比数列的公比为q,由1324105aaaa得,2121(1)10(1)5aqaqq,解得1812aq.所以2(1)1712(1)22212118()22nnnnnnnnaaaaq,于是当3n或4时,12naaa取得最大值6264.考点：等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.19.（2016上海文、理）无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当1n时，12a或13a；当2n…时，若2nS，则12nS，于是0na，若3nS，则13nS，于是0na.从而存在Nk，当nk…时，0ka.其中数列na：2,1,1,0,0,0,满足条件，所以max4k.考点：数列的求和.【名师点睛】从研究nS与na的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列na由k个不同的数组成”的不同和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.20.（2016浙江理）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.【答案】1121【解析】试题分析：1221124,211,3aaaaaa，再由111121,21(2)23(2)nnnnnnnnnaSaSnaaaaan，又213aa，所以515133(1),S121.13nnaan考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n项和．【易错点睛】由121nnaS转化为13nnaa的过程中，一定要检验当1n时是否满足13nnaa，否则很容易出现错误．21.(2017北京理)若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22ab=_______.【答案】1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d和q，3138dq，求得第6页（共19页）2,3qd，那么221312ab.22.(2017江苏)等比数列{}na的各项均为实数,其前n项的和为nS,已知3676344SS,,则8a=.【答案】32【解析】当1q时，显然不符合题意；当1q时，3161(1)714(1)6314aqqaqq，解得1142aq，则7812324a.【考点】等比数列通项23.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS。【答案】21nn【解析】试题分析：设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有：1123434102adad