2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 6.3 等比数列及其前n项和

中小学一对一课外辅导专家-1-§6.3等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(×)(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(×)中小学一对一课外辅导专家-2-(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(5)等比数列{an}的首项为a，公比为－1，前n项和为Sn，则S2n＝0，S2n－1＝a.(√)(6)1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝1－b51－b.(×)1．(2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24答案A解析由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于()A．7B．5C．－5D．－7答案D解析方法一由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.方法二由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.3．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．答案4中小学一对一课外辅导专家-3-解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.4．(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.答案22n＋1－2解析设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40.得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝a11－qn1－q＝2n＋1－2.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.答案(1)B(2)4或－4解析(1)显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12或a1＝9q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则a1q3－a1q＝6，a1q4－a1＝15，两式相除，得q1＋q2＝25，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12.中小学一对一课外辅导专家-4-所以a1＝1，q＝2或a1＝－16，q＝12.故a3＝4或a3＝－4.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.3312B．31C.314D．以上都不正确(2)(2014·天津)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．答案(1)B(2)－12解析(1)设{an}的公比为q，q0.由已知得a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，则a1＝1，所以S5＝a11－q51－q＝1×1－251－2＝31.(2)因为等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋nn－12d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－12.题型二等比数列的性质及应用例2(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.中小学一对一课外辅导专家-5-答案(1)51(2)－12解析(1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51.又an0，所以a4＋a8＝51.(2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，则可得S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________.(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.(3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且SnTn＝n2n＋1，则logb5a5＝________.答案(1)3∶4(2)1024(3)919解析(1)由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝12S3代入得S9S3＝34.(2)方法一a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a41·q6＝1，①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q54＝8，②②÷①：a41·q54a41·q6＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43中小学一对一课外辅导专家-6-＝a41·q166＝a41·q6·q160＝(a41·q6)·(q16)10＝1·210＝1024.方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024.(3)由题意知S9T9＝lga1·a2·…·a9lgb1·b2·…·b9＝lga95lgb95＝lga5lgb5＝logb5a5＝919.题型三等比数列的判定与证明例3已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12，∴{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，∴a1＝12，∵cn＝an－1，∴首项c1＝a1－1，∴c1＝－12，公比q＝12.∴{cn}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．(2)解由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝1－12n.中小学一对一课外辅导专家-7-思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又Sn＋1＝4an＋2，①Sn＝4an－1＋2，②①－②，得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34，故{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列．∴an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，得an＝(3n－1)·2n－2.分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(12分)(2013·天津)已知首项为32的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：Sn＋1Sn≤136(n∈N*)．思维点拨(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；中小学一对一课外辅导专家-8-(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝a4a3＝－12.[2分]又a1＝32，所以等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·32n.[3分](2)证明由(1)知，Sn＝1－－12n，Sn＋1Sn＝1－－12n＋11－－12n＝2＋12n2n＋1，n为奇数，2＋12n2n－1，n为偶数.[6分]当n为奇数时，Sn＋1Sn随n的增大而减小，所以Sn＋1Sn≤S1＋1S1＝136.[8分]当n为偶数时，Sn＋1Sn随n的增大而减小，所以Sn＋1Sn≤S2＋1S2＝2512.[10分