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阅读理解问题【题型特征】阅读理解题一般篇幅比较长,由“阅读”和“问题”两部分构成,其阅读部分往往为学生提供一个自学材料,其内容多以定义一个新概念(法则),或展示一个解题过程,或给出一种新颖的解题方法,或介绍某种图案的设计流程等.学生必须通过自学,理解其内容、过程、方法和思想,把握其本质,才可能会解答试题中的问题.阅读理解题呈现的方式多种多样,有纯文型(全部用文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、改错型(条件、问题、解题过程都已展示,但解题过程一般要改正).考查内容可以是学过知识的深入探索,也可以是新知识的理解运用.阅读理解题按解题方法不同常见的类型有:(1)定义概念与定义法则型;(2)解题示范(改错)与新知模仿型;(3)迁移探究与拓展应用型等.【解题策略】解答阅读理解型问题的基本模式:阅读——理解——应用.重点是阅读,难点是理解,关键是应用.阅读时要理解材料的脉络,要对提供的文字、符号、图形等进行分析,在理解的基础上迅速整理信息,及时归纳要点,挖掘其中隐含的数学思想方法,运用类比、转化、迁移等方法,构建相应的数学模式或把要解决的问题转化为常规问题.可根据其类型,采用不同的思路.一般地:(1)定义概念、法则型阅读理解题以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等.解答时要在阅读理解的基础上解答问题.解答这类问题时,要善于挖掘定义的内涵和本质,要能够用旧知识对新定义进行合理解释,进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解和解答.(2)解题示范、新知模仿型阅读理解题以范例的形式给出,并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧,再以思路技巧为载体设置类似的问题.解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化;正误辨析型阅读理解题抓住学生学习中的薄弱环节和思维漏洞,“刻意”地制造迷惑,使得解答过程似是而非.解答时主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握,运用其进行是非辨别.(3)迁移探究与拓展应用型,即阅读新问题,并运用新知识探究问题或解决问题,解答这类题的关键是认真阅读其内容,理解其实质,把握其方法、规律,然后加以解决.类型一定义概念与定义法则型典例1(2015·四川宜宾)规定:sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny.据此判断下列等式成立的是(写出所有正确的序号).③sin2x=sinx·cosx+cosx·sinx=2sinx·cosx,命题正确;④sin(x-y)=sinx·cos(-y)+cosx·sin(-y)=sinx·cosy-cosx·siny,命题正确.【全解】②③④举一反三1.(2015·贵州铜仁)定义一种新运算:a�b=b2-ab,如:1�2=22-12=2,则(-1�2)�3=.2.(2013·湖北十堰)定义:对于实数a,符号[a]表示不大于a的最大整数.例如:[5.7]=5,[5]=5,[-π]=-4.(1)如果[a]=-2,那么a的取值范围是.(2)如果=3,求满足条件的所有正整数x.【小结】以上题目分别考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值、解不等式等知识点,正确理解题目中的定义是关键.类型二解题示范与新知模仿型(改错)典例2(2015·甘肃兰州)为了求1+2+22+23+…+2100的值,可令S=1+2+22+23+…+2100,则2S=2+22+23+24+…+2101,因此2S-S=2101-1,所以S=2101-1,即1+2+22+23+…+2100=2101-1,仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32015的值是.【解析】根据提供解题方法,我们可先根据等式的性质,得到和的3倍,将两式相减,可得和的2倍,再根据等式的性质,两边都除以2,可得答案.具体解题过程如下:设M=1+3+32+33+…+32015,①①式两边都乘以3,得3M=3+32+33+…+32015.②②-①,得2M=32015-1,【技法梳理】本题让学生从特例入手,通过自学例题解法,探索发现解题的思路技巧,并用此思路技巧解决新问题.我们可以仿照例题的解法.举一反三3.(2015·湖南永州)在求1+62+63+64+65+66+67+68+69的值时,小林发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍,于是她设:S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69.①然后在①式的两边都乘以6,得6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610.②②-①,得6S-S=610-1,即5S=610-1,所以.得出答案后,爱动脑筋的小林想:如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1),能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2015的值?你的答案是().4.(2015·贵州黔南州)先阅读以下材料,然后解答问题,分解因式.mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y);也可以mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx+ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y).以上分解因式的方法称为分组分解法,请用分组分解法分解因式:a3-b3+a2b-ab2.5.(2015·广东珠海)阅读下列材料:解答“已知x-y=2,且x1,y0,试确定x+y的取值范围”有如下解法:解:∵x-y=2,∴x=y+2.又x1,∴y+21.∴y-1.又y0,∴-1y0.①同理,得1x2.②由①+②,得-1+1y+x0+2,∴x+y的取值范围是0x+y2.请按照上述方法,完成下列问题:(1)已知x-y=3,且x2,y1,则x+y的取值范围是.(2)已知y1,x-1,若x-y=a成立,求x+y的取值范围(结果用含a的式子表示).【小结】弄清题中的技巧是解题的关键.我们只要按照示例中的思路技巧去类比、模仿,一般不会做错,做题时要克服思维定势的影响和用“想当然”代替现实的片面意识.类型三迁移探究与拓展应用型典例3(2015·北京)阅读下面材料:小腾遇到这样一个问题:如图(1),在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图(2)).请回答:∠ACE的度数为,AC的长为.参考小腾思考问题的方法,解决问题:如图(3),在四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2,BE=2ED,求BC的长.(1)(2)(3)【解析】过点D作DF⊥AC,交AC于点F.根据相似的三角形的判定与性质,可得,根据等腰三角形的判定,可得AD=AC,根据正切函数,可得DF的长,根据直角三角形的性质,可得AB与DF的关系,根据勾股定理,可得答案.【全解】∠ACE=75°,AC的长为3.过点D作DF⊥AC于点F.∵∠BAC=90°=∠DFA,∴AB∥DF.∴△ABE∽△FDE.∴∴EF=1,AB=2DF.在△ACD中,∠CAD=30°,∠ADC=75°,∴∠ACD=75°,AC=AD.∵DF⊥AC,∴∠AFD=90°.在△AFD中,AF=2+1=3,∠FAD=30°,∴DF=AFtan30°=,AD=2DF=2.∴AC=AD=2,AB=2DF=2.∴BC==2.举一反三A.2B.1C.6D.107.(2015·河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:第一步嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是.用配方法解方程:x2-2x-24=0.【小结】解答本类题要仔细审题,理解题意所给的方法,达到学以致用的目的.例3主要考查了锐角三角函数关系知识,根据已知得出边AC,AB的长是解题关键.举一反三考查了一道关于不等式的新型题和一道正误辨析型阅读理解题.提供的阅读材料中,在进行开方时,没有注意一个正数的平方根有两个.本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程.类型一1.(2015·贵州黔西南州)在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:(1)f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);(2)g(m,n)=(-m,-n),如g(2,1)=(-2,-1).按照以上变换有:f[g(3,4)]=f(-3,-4)=(-3,4),那么g[f(-3,2)]=.2.(2015·新疆)规定用符号[x]表示一个实数的整数部分,例如:[3.69]=3,[]=1,按此规定,[-1]=.3.(2015·山东东营)将自然数按以下规律排列:第一列第二列第三列第四列第五列第一1451617…行第二行23615…第三行98714…第四行10111213…第五行……表中数2在第二行第一列,与有序数对(2,1)对应,数5与(1,3)对应,数14与(3,4)对应,根据这一规律,数2015对应的有序数对为.4.(2015·河北)定义新运算:例如:.则函数(x≠0)的图象大致是().类型二类型三7.(2015·福建漳州)阅读材料:如图(1),在△AOB中,∠O=90°,OA=OB,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用)(1)(2)(3)(4)(第7题)(1)【理解与应用】如图(2),正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点P在AB边上,PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,则PE+PF的值为.(2)【类比与推理】如图(3),矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,AD=3,点P在AB边上,PE∥OB交AC于点E,PF∥OA交BD于点F,求PE+PF的值;(3)【拓展与延伸】如图(4),☉O的半径为4,A,B,C,D是☉O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PE∥BC交AC于点E,PF∥AD交BD于点F,当∠ADG=∠BCH=30°时,PE+PF是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.8.(2015·福建龙岩)如图,我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形.(1)若四边形ABCD是菱形,则它的中点四边形EFGH一定是;A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形(2)若四边形ABCD的面积为S1,中点四边形EFGH的面积记为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2;(3)在四边形ABCD中,沿中点四边形EFGH的其中三边剪开,可得三个小三角形,将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形,请画出一种拼接示意图,并写出对应全等的三角形.(第8题)参考答案【真题精讲】2.(1)-2≤a-1解得5≤x7,则满足条件的所有正整数为5,6.解析:根据题意列出不等式组,求出不等式的解.3.B4.a3-b3+a2b-ab2=a3+a2b-(b3+ab2)=a2(a+b)-b2(a+b)=(a+b)(a2-b2)=(a+b)2(a-b).5.(1)∵x-y=3,∴x=y+3.又x2,∴y+32.∴y-1.∵y1,∴-1y1.①同理,得2x4,②由①+②,得1+2x+y1+4.∴x+y的取值范围是1x+y5;(2)∵x-y=a,∴x=y+a.又x-1,∴y+a-1.∴y-a-1.∵y1,∴1y-a-1.①同理,得a+1x-1,②由①+②,得1+a+1x+y-a-1+(-1).∴x+y的取值范围是a+2x+y-a-2.则原式的最小值为6.故选C.用配方法解方程:x2-2x-24=0,过程如下:移项,得x2-2x=24,配方,得x2-2x+1=24+1,即(x-1)2=25,开方,得x-1=±5,∴x1=6,x2=-4.【课后精练】1