第1章控制系统的状态空间表达式

第1章控制系统的状态空间表达式本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。本章内容为：1、状态空间表达式2、由微分方程求出系统状态空间表达式3、传递函数矩阵4、离散系统的数学模型5、线性变换6、组合系统的数学描述7、利用MATLAB进行模型之间的变换1.1状态空间表达式1.1.1状态、状态变量和状态空间状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻的值以及的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻的状态。（状态变量的选择可以不同）0tt≥0tt状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间，称为状态空间。例：如下图所示电路，为输入量，为输出量。)(tu)(tuC)()()()(tututRidttdiLC建立方程：dttduCiC)(初始条件：)()(00tititt)()(00tutuCttC)(tuC和可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量)(ti1.1.2状态空间表达式前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：LtuLtutiLRdttdiC)()()()()(1)(tiCdttduC)(01)()(011)()(tuLtutiCLLRdttdudttdiCC)()(10)(tutituCC该方程描述了电路的状态变量和输入量之间的关系，称为该电路的状态方程，这是一个矩阵微分方程。如果将电容上的电压作为电路的输出量，则该方程是联系输出量和状态变量关系的方程，称为该电路的输出方程或观测方程。这是一个矩阵代数方程。系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称为系统动态方程，或称系统方程。21xxx设：)(1tix)(2tuxC01Lb10C011CL-LR-ACxbAxxyu则可以写成状态空间表达式：推广到一般形式：DuCxyBuAxxnxxx21xruuu21umyyy21ynnnnnnaaaa1111Arnnrnrabbb1111Bnmmnmncccc1111Crmmrmrdddd1111D如果矩阵A,B,C,D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系统。如果这些元素中有些是时间t的函数，则称系统为线性时变系统。严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程和输出方程表示。如果不显含t，则称为非线性定常系统。),(),(ttux,gyux,fx)()(ux,gyux,fx1.1.3状态变量的选取（1）状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定（2）状态变量选取的非惟一性（3）系统状态变量的数目是唯一的在前面的例子中，如果重新选择状态变量则其状态方程为Cux1Cuxx12uLCxxLRLCxx101102121输出方程为：2101xxy1.1.4状态空间表达式建立的举例例1-1建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注：质量块m的重量已经和弹簧k的初始拉伸相抵消）根据牛顿第二定律22dtydmdtdyfkyFF即：Fkydtdyfdtydm22选择状态变量yx112xyx21xx则：FmxmfxmkFmdtdymfymkx11212机械系统的系统方程为Fmxxmfmkxx101021212101xxy该系统的状态图如下例1-2建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式电枢回路的电压方程为DeDDDDuKiRdtdiL系统运动方程式为dtdJfiKDDm（式中，为电动势常数；为转矩常数；为折合到电动机轴上的转动惯量；为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）eKmKDJf可选择电枢电流和角速度为状态变量，电动机的电枢电压为输入量，角速度为输出量。DiDuDiy10DDDDDmDeDDDuLiJfJKLKLRdtddtdi01状态空间表达式状态图如下：例1-3建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。单级倒立摆系统是许多重要的宇宙空间应用的一个简单模型。在水平方向，应用牛顿第二定律：ulytmtyM)sin(dddd2222在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：sin)sin(dd22mglytm而有：)(cos)(sinddtcos)sin()(sindd222t)sin()(cosddt)sin()cos()(cosdd222t1cos线性化：当和较小时，有sin02化简后，得umlymM)(mgmlym求解得：uMMmgy1uMlMlgmM1)(选择状态变量，，，为系统输入，为系统输出yx1yxx123x34xxuy;0100010000000010114321)(4321uxxxxxxxxMlMMlgmMMmg43210001xxxxy状态图为1.2由微分方程求状态空间表达式一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。这里分两种情况：1、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.4.1中的内容）2、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.4.2中的内容）1.2.1微分方程中不含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为ubyayayay0012选取状态变量yx1yx2yx3则有21xx32xxubxaxaxax03221103写成矩阵形式ubxxxaaaxxx032121032100100010321001xxxy状态图如下：一般情况下，n阶微分方程为：ubyayayaynnn001)1(1)(选择状态变量如下：┆yxxyxxyx32211ubxaxaxayxyxxnnnnnnn012110)()1(1写成矩阵形式：ubxxxaaaaaxxxnnn0211321021000100000010000010nxxy1001系统的状态图如下：1.2.2微分方程中含有输入信号导数项首先考察三阶系统，其微分方程为ububububyayayay0123012（一）待定系数法选择状态变量：uxuuuyxuxuuyxuyx2221031110201其中，待定系数为：22110002120112022130aaabaababb于是uxaxaxaxuxxuxx33221103232121写成矩阵形式uuxxxaaaxxxbAxx321321210321100010duuxxxuxyCx032101001系统的状态图一般情况下，n阶微分方程为：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(选择n个状态变量为uxxuxxuxxuyxnnn1122311201uxxxaaaaaxxxnnnnn121211321021100000010000010系统方程为uxxyn01001系统状态图如下（二）辅助变量法设n阶微分方程为：ubububyayayaynnnnn01)1(101)1(1)(Laplace变换，求传递函数0111012211)()(asasasabsbsbsbsRsYnnnnnnnn引入辅助变量zuzazazaznnn01)1(1)(yzbzbzbnn01)1(1返回到微分方程形式：以及选择状态变量如下：zxxzxxzx32211┆ubxaxaxazxzxxnnnnnnn012110)()1(1nnnnxbxbxbzbzbzby1211001)1(1写成矩阵形式uxxxaaaaaxxxnnn1000100000010000010211321021nnxxbbby1110注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。0101110101)()(asasabsbsbdasasabsbsbsRsYnnnnnnnn例1-4已知描述系统的微分方程为uuyyyy64016064019218试求系统的状态空间表达式。解（1）待定系数法选择状态变量如下uxxuxxuyx22311201其中224016018640160064001921600022110003100112022130aaabaababb于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx2240160018192640100010321321321001xxxy（2）辅助变量法引入辅助变量zuzzzz64019218zzy640160选择状态变量zx112xzx23xzx于是系统的状态空间表达式为uxxxxxx1001819264010001