正弦交流电路基础

第四章正弦交流电路基础本章内容1．正弦量·相量2．有效值3．正弦电路元件4．基尔霍夫定律相量形式5．RLC串联电路6．RLC并联电路7．无源一端口网络8．交流电路功率9．正弦交流电路分析本章教学目的正弦交流电路是应用最广泛的电路，本章介绍单相正弦交流电路理论中最基本的概念和规律。本章教学要求掌握正弦量的概念及其相量表示法，相量运算；正弦电路元件特性；交流电路KCL、KVL形式；交流电路功率、有功功率和无功功率及功率因数的概念；简单正弦电路分析方法。4.1正弦量概念1）量值随时间作正弦变化的物理量为正弦量，如电学上电压、电流等，如图4-1。i＝Imsin（ωt＋φi）（4.1-1）Im――振幅f——频率我国电网f＝50Hz，ω＝314弧度／秒ω＝2πf——角频率——周期ωt＋φi——相位φi——初相位确定一正弦量，必须给出Im，ω，φi，称三要素。f1Ti0-φiImωt图4-12）正方向及起始点如同直流量，必须规定参考方向，或正方向。如图4-2电流正方向从A到B，i＝5sin（314t+45°），则随时间变化曲线如图，每一时刻都有确定的电流值，实际方向时正时负。Φi与正方向有关。图中电流，若规定正方向从B到A，记为i′，则i′＝－i＝－5sin（314t＋45°）＝5sin（314t－135°），即把时间起点沿ωt轴移动180°。i与i′表示同一电流，由于正方向不同，初相相差180°。iABωt045°－45°135°0′i′i135°图4-2可见由于起始点及正方向选择不同，φi不同，但幅值与角频率不变。3）相位差两个同频率正弦量，见图4-3，i1＝Im1sin（ωt＋φi1），i2＝Im2sin（ωt＋φi2），φ＝（ωt＋φi1）－（ωt＋φi2）＝φi1－φi2称为相位差。可见，相位差＝初相差。若φ＞0，φi1＞φi2，i1超前i2；φ＝0，φi1＝φi2，i1与i2同相位；φ0，φi1＜φi2，i1滞后i2；φ＝i1与i2正交，且i1超前；φ＝i1与i2正交，且i1滞后；φ＝πi1与i2反相。22－φi1φi2i1ωtφi2图4-304）相量――正弦量复数表示法①代数表示法公式ej（ωt+φi）＝cos（ωt+φi）+jsin（ωt+φi）i＝Imsin（ωt+φi）＝Im]eI[)t(jmi＝Im]eeI[tjjmi＝Im[ejωt]mImI＝＝Im∠φi是一个复数，Im－算子，ijmI称为相量，对于已知ω，已包含另两个要素Im，φi，故可唯一地表示i。:///②几何表示法复数可在复平面上表示。＝Im∠φi＝ImmIije是复数，复平面上表示如图4-4。jφiIm01mI图4-4相量以ω为角速度逆时针旋转，其在虚轴上投影，即取虚部，为i＝Imsin（ωt＋φi），所以复平面上完全确定了i。复平面上相位关系表示得更清楚，频率相同，旋转角速度同，各同频率相量相对固定，故只要求出t＝0时各相量，即可确定任何时刻的瞬时值。mImI5）相量运算u1＝Im[]，u2＝Im[]tj1eUtj2eUu＝u1+u2＝Im[+]=Im[（1＋2）]tj1eUtj2eUUUtje可见只要求出1＋2，即可得u＝u1+u2，把瞬时值运算变为相量运算。＊注意，只有同频率量才可进行相量运算。UU如图4-5,455,301021UU5j3530sin10j30cos10U125.2j25.2)45sin(5j45cos5U2－）（－73.122.1248.1arctg48.12.1248.1j2.12UUU2221u＝u1+u2=12.3sin(ωt+7°)30°7°-45°图4-51U2UU4.2有效值设电流，通过单位电阻，则消耗瞬时功率为（4.2-1）)tsin(Iiim)t(sinI1ipi22m2一周期内平均功率为dt)t(sinIT1pdtT1pPiT0T022mT02m2m2Idt2)t(2cos1IT1i（4.2-2）设另有一等效直流电流I，通过单位电阻上功率为p′=I2令p′=p，则2II2m22IIm称为有效值，I2Im称为峰值。（4.2-3）（4.2-4）习惯上，正弦量常用有效值)tsin(I2ii（4.2-5）同样可定义电压有效值。电网电压220V指有效值，常用电表读数为有效值。今后本课程中一律用有效值运算，式（4.2-5）相量形式为iII（4.2-6）如)30tsin(102i则3010I2mUU4.4.3正弦电路元件有3种基本无源元件R，L，C。1）电阻①电路符号和正方向如图4-6（a）。RUIRi（a）（b）图4-6RuR②瞬时值电流，则电阻上压降为)tsin(I2ii)tsin(U2)tsin(RI2RiuiiRR表明电阻上电流、电压同相位。（4.3-1）③相量，相量图IRUR（4.3-2）如图4-6（b）。④有效值UR＝IR（4.3-3）⑤功率瞬时功率)t(sinIU2iupi2RRR)]t(2cos1[IUiR=平均功率RIIUdtpT1pP2RT0RRR可见PR0，即＊电阻消耗功率。（4.3-4）2）电感①线圈w匝，电流i，磁通Φ，磁链Ψ＝wφ＝Li，线性电感L＝const。Ψ随i，也即随t变化，线圈中产生感应电势。设i增大，由楞次定律，产生感应电势极性如图4-7（a）。其感生电压与i同方向，如图4-7（b）所示。－+φ=LiwiLuLi（a）（b）图4-7②瞬时值设)tsin(I2ii则)tcos(LI2dtdiLdtduiL)90tsin(U2)90tsin(LI2iiL（4.3-5）＊电感上电压uL超前i90°，即uL与i正交，且uL超前。LIUL③相量iij.IeII)90(jL.iiLIe)90(LIU90jjeLIeiijLIejILj（4.3-6）90°图4-7（c）LUI如图4-7（c）。④感抗LLjXLjIU．．（4.3-7）称XL＝ωL为感抗，单位：Ω。线性电感L为常数，感抗与频率成正比。⑤功率瞬时功率)tcos()tsin(IU2iupiiLLL)]t(2sin[IUiL（4.3-8）电感瞬时功率以2倍频率周期变化，时而吸收能量，时而释放能量。平均功率，可见电感元件不消耗功率。0pL⑥能量0)t(sinLI2LiWi222L（4.3-9）＞0时，WL↑＜0时，WL↓LpLp＊L是储能元件。3）电容①电容量C，电压uc，极板上电荷分别为cCuq。设正极板q↑,则uc↑0dtducdtdqic，方向如图4-8（a）。图4-8（b）为电容器符号。q－qi+－ucucci90°（a）（b）（c）图4-8ICU②瞬时值设)tsin(U2uucc则)tcos(CU2iuC)90tsin(CU2uC)90tsin(I2u（4.3-10）为有效值关系＊电容电流I超前uc90°。CCUI③相量uCCUU90jjcuCeeCU)90(CUIuCUCj（4.3-11）如图4-8（c）。④容抗CCjXCjCjIU11．．（4.3-12）称为容抗，单位Ω。CXC1感抗、容抗统称为电抗。⑤功率瞬时功率)tcos(I2)tsin(U2iupuuCcc)]t(2sin[IUuC（4.3-13）平均功率，电容不消耗功率。0pc⑥能量)t(sinCUu2CWu22c2cC（4.3-14）CcW,0pCcW,0p＊C是储能元件。综上所述，R,L,C上的电流与电压的关系列表比较如下：元件瞬时值有效值相量电阻R电感L电容CRiuRRIURIRURdtdiLuLLIULIjXILjULLCCCCIjXICjU1dtduCiCCCCCUI作业4P4.1正弦电流A，A1）分别写出i1，i2的振幅（有效值），角频率和初相位；2）问i1，i2是否正交？那个超前？3）写出对应相量，；4）画出相量图。)60314sin(101ti)30314sin(522ti1I2IP4.2正弦电压有效值220V，周期0.01秒，初相位，1）写出时间函数表达式；2）写出对应相量表达式。P4.31）求P4.1中两电流相量之和；2）写出合成后的时间函数表达式。P4.41）P4.1中电流i1，i2分别通过电阻R=10Ω，求电阻分别消耗功率P1和P2；2）P4.1中电流i1，i2同时通过电阻R=10Ω，求电阻消耗功率P；3）为什么1）、2）中电阻上消耗功率P=P1+P2？一般这一等式是否成立？21III45P4.5电感L=50mH上加以电压V1）写出电压相量；2）求电流相量；3）画出电压、电流相量图；4）写出电流瞬时式。P4.6在电容上加电压1）写出电压相量；2）求电流相量；3）画相量图；4）写出瞬时电流。)6030sin(1502tuVtu)45314sin(3002FC104.4基尔霍夫定律相量形式基尔霍夫定律对于任何电路均成立。对于正弦交流电路，当电源为某一频率正弦量时，则在任一支路上产生的电流和电压也是同一频率的正弦量。KCL用于某节点上时，应是瞬时值代数和为零。设某节点共有N个支路，N1kk0i或0)tsin(I2)tsin(I2)tsin(I2iNN2i21i1（4.4-1）0]eI[I]eI[I]eI[ItωjNtωj2tωj1mmm0]eIII[ItωjN21m等式成立，必有N1kk0I（4.4-2）这就是KCL的相量形式。同样可得KVL的相量形式为N1kk0U（4.4-3）＊直流电路中叙述的电路分析方法和电路定理是基于KCL和KVL导出的，而这两个基本定律对任何电路均成立。因此直流电路中叙述的分析方法和定理对于任何电路均成立，且在交流电路中可用相量形式表示。在今后的分析中将直接引用这些方法或定理。UCUIRU4.5RLC串联电路LU如图4-9（a），由KVLICLjRICjILjIRUUUUCLR)]1([1IZ（4.5-1）（a）RL如图4-9ZjXRXXjRCLjRZCL)()1(zIUIUIUiuiu（b）（4.5-2）φLUUIRUCU图4-9Z—复数阻抗XL—感抗XC—容抗X—电抗zIUXRZ22—阻抗模图4-9（c）φRUCUULUIiu—阻抗角取电流为参考相量，各电压相量如图4-9（b），具体运算中用图（c）更方便。例4.1F64C,mH210L,12R,Vt314sin222u求i，uR，uL，uC。解：94.65102103143LXL76.491064314116CXC44.5314.2018.16j12)XX(jRjXRZCL取为参考相量022U.44.5309.144.5314.20022ZUI)44.53t314sin(09.12iA44.5311.1344.5309.112IRUR)44.53t314sin(11.132uRV56.358.7144.5309.194.65jIjXILjULL)56.35t314sin