正弦函数、余弦函数的性质

x6yo--12345-2-3-41正弦曲线x6yo--12345-2-3-41余弦曲线复习：正弦函数、余弦函数的图象请观察正弦曲线、余弦曲线的形状和位置,说出它们的性质。想一想问题：今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……正弦函数、余弦函数的性质（一）～周期性:周期函数都有时取定义域内的每一个值得当使若存在一个非零常数对于函数,,),(xTxf)()(xfTxf.,叫做这个函数的周期非零常数称之T条件:(1)T0且为常数(2)x取定义域内的每一个值。试一试1、已知函数的周期是4，且当时，，求()yfx2()1fxx(1),(5),(16).fff思考：吗？2(5)5126f]2,2[x正弦函数、余弦函数的性质（一）～周期性2sin30120___sin30（）=120sin,fxxxR能否说是函数的周期？正弦函数性质如下：()sinfxx(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；(2)规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）(3)这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明结论：也是周期函数。x6yo--12345-2-3-41y=sinxxR正弦曲线（观察图象）正弦函数、余弦函数的性质（一）～周期性y=sinxxR思考：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？周期函数的周期不止一个.±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.若周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期。注意：今后所涉及到的周期，不加特别说明，一般指最小正周期。正弦函数、余弦函数的性质（一）～周期性正弦函数的周期是，最小正周期是。余弦函数的周期是，最小正周期是。正弦函数、余弦函数的性质（一）～周期性2(kkz且k0)22(kkz且k0)2教学P35例2一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期是多少?|ω|π2T由上例知函数y=3cosx的周期T=2π；函数y=sin2x的周期T=π；函数y=2sin(-)的周期T=4π想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？2x6自变量的系数的绝对值πT2小结：y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期是|ω|π2T课堂练习一：求下列函数的周期。33sin,4yxxR2cos4,yxxR11cos,2yxxR14sin,34yxxRsin()32xy(5)已知三角函数值求角例1：已知求3sin2x22322523yO232253113sin6023sin1202)(36012036060zkkk或已知三角函数值求角变式：已知求的范围。3sin23sin6023sin1202x22322523yO23225311]120,60[360k360kZk课堂练习二：已知三角函数值求角•已知求的范围3cos2小结已知三角函数值，求角（1）在一个周期区间里找两个代表（2）分别加上2kπ正弦函数的图象探究余弦函数的图象问题：它们的图象有何对称性？x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数、余弦函数的性质（二）～奇偶性它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=-1之间。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数)sin(xxsin)cos(xxcos由诱导公式正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点（0，1）.正弦函数、余弦函数的性质（二）～奇偶性判断下列函数的奇偶性课堂练习二：正弦函数、余弦函数的性质（二）～奇偶性)sin()2(xyxy2sin)1()22sin()3(xy)25cos(3)4(xy2,02sin)5(x，，y探究：正弦函数的单调性]2523[]22[]23,25[，、，、当在区间……上时，x曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。11753357[,][][][,]22222222…、，、，、…当在区间x上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11x22322523yO23225311正弦函数、余弦函数的性质（三）～单调性探究：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数的增区间为：)](22,22[Zkkk其值从－1增大到1；正弦函数的减区间为：3[2,2]()22kkkZ其值从1减小到－1。正弦函数、余弦函数的性质（三）～单调性探究：余弦函数的单调性[3,2][0][2][3,4]、，、，当在区间x上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。11曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11[2,][0][23]、，、，当在区间x上时，x22322523yO23225311探究：余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。减区间为：[2,2]kk其值从－1增大到1；增区间为：[2,2]kk教学P39例4例2：求下列函数的单调递减区间。)32cos(31)2(xy)4sin()1(xy课堂练习三：求下列函数的单调递增区间。)321sin(2)2(xyxy2cos)1(求函数，x∈[－2π，2π]的单调递增区间.sin()32xy想一想：你能解决这个问题吗？小结求单调区间sin()sinyAxyAz（1）化未知为已知（2）负号：sin提出来；cos消去探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：2x当时，有最大值1yk2最小值：2x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311正弦函数、余弦函数的性质（四）～最值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：0x当时，有最大值1yk2最小值：x当时，有最小值1yk2x22322523yO23225311正弦函数、余弦函数的性质（四）～最值教学P38例3课堂练习四：求使函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。)42cos(3xy正弦函数的对称性xyo--1234-2-31223252722325)0,k对称中心（2kx对称轴：余弦函数的对称性yxo--1234-2-31223252722325)0,2k对称中心（kx对称轴：正弦函数、余弦函数的性质（四）～对称性例3：求函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx23zx解（1）令则sin(2)sin3yxzsinyz的对称轴为,2zkkZ232xk解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz的对称中心为(,0),kkZ23xk对称中心为62xkzk(,0),Z62kk1、为函数的一条对称轴的是（）sin(2)3yx4.3Ax.2Bx.0Dx.12CxC课堂练习五：2、求函数的对称轴和对称中心。)32cos(xy函数性质y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定义域值域最值及相应的x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴RR[-1,1][-1,1]x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1周期为T=2π周期为T=2π奇函数偶函数在x∈[2kπ-π，2kπ]上都是增函数,在x∈[2kπ，2kπ+π]上都是减函数。(kπ,0)x=kπx=2kπ+时ymax=1x=2kπ-时ymin=-1π2π2在x∈[2kπ-,2kπ+]上都是增函数在x∈[2kπ+,2kπ+]上都是减函数.π2π2π23π2(kπ+,0)π2x=kπ+π2小结作业：求下列函数的最大值和最小值，及相应的自变量x的集合；再求其对称轴与对称中心.最后求出其单调区间.11(1)1cos;(2)2sin()2323yxyx