正弦定理、余弦定理总结和应用

高中数学安徽铜陵姚老师：138665007201§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA，b＝，c＝；②sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.若C为锐角，则cosC0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cosC0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sinA＝____________，cosA＝____________，tanA＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝________.tanA＋tanB＋tanC＝__________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sinB＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.【自查自纠】高中数学安徽铜陵姚老师：1386650072021．(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2)①2RsinB2RsinC②b2Rc2R③sinA∶sinB∶sinC2．(1)b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosCa2＋b2(2)b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab(3)互化sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosBsin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②二解③一解④一解(3)余弦(4)余弦4．(1)12absinC12bcsinA12acsinBabc4R12(a＋b＋c)r(2)π－(B＋C)π2－B＋C2sin(B＋C)－cos(B＋C)－tan(B＋C)cosB＋C2sinB＋C21tanB＋C2tanAtanBtanC(3)a＋csinA＋sinC在△ABC中，AB是sinAsinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C.在△ABC中，已知b＝6，c＝10，B＝30°，则解此三角形的结果有()A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知sinC＝c·sinBb＝56，又由cbcsinB知，C有两解．也可依已知条件，画出△ABC，由图知有两解．故选C.(2013·陕西)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC＋ccosB＝asinA,则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sinA·sinA，即sin(B＋C)＝sinAsinA，亦即sinA＝sinAsinA.因为0Aπ，所以sinA＝1，所以A＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B.(2012·陕西)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________．解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋()232－2×2×23×cosπ6＝4，b＝2.故填2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解：∵sinB＋cosB＝2，∴2sinB＋π4＝2，即sinB＋π4＝1.又∵B∈(0，π)，∴B＋π4＝π2，B＝π4.根据正弦定理asinA＝bsinB，可得sinA＝asinBb＝12.∵a＜b，∴A＜B.∴A＝π6.故填π6.类型一正弦定理的应用△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求C.解：由a＋c＝2b及正弦定理可得sinA＋sinC＝2sinB.又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cosC＋sinC＝sinA＋sinC＝2sin(A＋C)＝2sin(90°＋2C)＝2sin2(45°＋C)．∴2sin(45°＋C)＝22sin(45°＋C)cos(45°＋C)，即cos(45°＋C)＝12.又∵0°＜C＜90°，∴45°＋C＝60°，C＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．高中数学安徽铜陵姚老师：138665007203(2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)证明：对bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a应用正弦定理得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，即sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－sinCcosB＝1，即sin()B－C＝1.由于B，C∈0，3π4，∴B－C＝π2.(2)∵B＋C＝π－A＝3π4，又由(1)知B－C＝π2，∴B＝5π8，C＝π8.∵a＝2，A＝π4，∴由正弦定理知b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×2sin5π8×2sinπ8×22＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8sinπ8＝22sinπ4＝12.类型二余弦定理的应用在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由余弦定理知，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab，将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得13＝42－2ac－2accos23π，解得ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－43C．1D.23解：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，代入(a＋b)2－c2＝4中得(a＋b)2－(a2＋b2－ab)＝4，即3ab＝4，∴ab＝43.故选A.类型三正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.高中数学安徽铜陵姚老师：138665007204又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝79.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又a＋c＝6，b＝2，cosB＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝429，由正弦定理得sinA＝asinBb＝223.因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝1－sin2A＝13.因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝10227.类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若tanA∶tanB＝a2∶b2，试判断三角形ABC的形状．解法一：由正弦定理，得a2b2＝sin2Asin2B，所以tanAtanB＝sin2Asin2B，所以sinAcosBcosAsinB＝sin2Asin2B，即sin2A＝sin2B.所以2A＝2B，或2A＋2B＝π，因此A＝B或A＋B＝π2，从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a2b2＝sin2Asin2B，所以tanAtanB＝sin2Asin2B，所以cosBcosA＝sinAsinB，再由正、余弦定理，得a2＋c2－b22acb2＋c2－a22bc＝ab，化简得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，即a2＝b2或c2＝a2＋b2.从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A