机器人学 第二章运动学

1第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述1、位置的描述对于直角坐标系{A}，空间任一点的位置可用3*1阶的列矢量来表示(也称位置矢量)：除了直角坐标系外，也可采用圆柱坐标系或球坐标系来描述点的位置。PAzyxApppP2第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述圆柱坐标(cylindrical):两个线性平移运动和一个旋转运动球坐标(spherical):一个线性平移运动和两个旋转运动3第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述1、位置的描述可以引入比例因子：xAyzwpxwpyPzwpww轾轾犏犏犏犏犏犏==犏犏犏犏犏犏犏臌臌,,xyzxyzppp===比例因子可为任意值，相当于缩放，当为零时，表示为一个长度为无穷大的向量，表示方向向量，由该向量的三个分量来表示，此时需将该向量归一化，使长度为1。其中：4第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述2、方位的描述为了规定空间某刚体B的方位，另设一直角坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的三个单位主矢量，，相对于坐标系{A}的方向余弦组成的3*3阶矩阵来表示刚体B相对于{A}的方位：Bx[]AAAABBBBRxyz333231232221131211rrrrrrrrrRABByBz00001[,,]Rnoa01xxxyyyzzznoaRnoanoa轾犏犏=犏犏犏臌01cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)nxoxaxnxoxaxRnyoyaynyoyaynzozaznzozaz轾轾鬃?犏犏犏犏=鬃?犏犏犏犏鬃?犏犏臌臌5第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述2、坐标系在固定参考坐标系中的表示0001xxxxyyyyzzzznoaPnoaPFnoaP轾犏犏犏=犏犏犏臌由表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示357xyzPnao4545n轴与x轴平行，o轴相对于y轴45°a轴相对于z轴45°F坐标系位于参考坐标系3,5,7位置例6第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述:表示坐标系{B}主轴方向的单位矢量.:相对于坐标系{A}的描述.将这些单位矢量组成一个3×3的矩阵，按照的顺序.旋转矩阵:标量可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示。111213212223313233ˆˆˆAAAABBBBrrrRXYZrrrrrrˆˆˆ,,BBBXYZˆˆˆ,,AAABBBXYZˆˆˆ,,AAABBBXYZijr7第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述3、旋转矩阵计算称为旋转矩阵，上标A代表参考系{A}，下标B代表被描述的坐标系{B}。cossin0sincos0001),(xRcos0sin010sin0cos),(yR1000cossin0sincos),(zRRAB重要！8Frame{A}andframe{B}{B}isrotatedrelativetoframe{A}aboutZbydegrees,ABABABxxAByyzzPPPPPPPPcossinsincosABBABBABxxyyxyzzPPPPPPPPcs0sc0001ABABABxxyyzzPPPPPP第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述9第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示:的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示为了简单，上式的前置上标被省略。由两个单位矢量的点积可得到二者之间的余弦，因此可以理解为什么旋转矩阵的各分量常被称作为方向余弦。componentsofrotationmatricesareoftenreferredtoasdirectioncosinesABRˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆBABABAAAAABBBBBABABABABABAXXYXZXRXYZXYYYZYXZYZZZijrPA•PB=|PA|•|PB|•cosØ10第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述进一步观察，可以看出矩阵的行是单位矢量{A}在{B}中的描述.因为为坐标系{A}相对于{B}的描述由转置得到这表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置BATABRR1ABBTBAARRRBARˆˆˆˆˆˆBTAAAAABTBBBBABTAXRXYZYZ3ˆˆˆˆˆˆATBATAATAAABBBBBBATBXRRYXYZIZ114、旋转矩阵性质1）矩阵有9个元素，其中只有3个是独立的。因为三个列矢量都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的9个元素满足6个约束条件（正交条件）：2）把矢量在{B}中的坐标表达式变为在{A}中的坐标表达式的变换矩阵：第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述1noaRAB1BABABABABABAzzyyxx0BABABABABABAxzzyyxRABTABABRR11RAB3）是正交矩阵，即有：noaPRPBABARAB12第二章机器人运动学§2.2空间描述和坐标变换—坐标系的描述用和来描述坐标系{}{,}AABBORGBRPBARABORGP{}B13第二章机器人运动学§2.3映射—坐标变换1、平移坐标系的映射设坐标系{B}与{A}具有相同的方位，但是{B}的坐标原点与{A}不重合，用位置矢量描述它相对于{A}的位置，称为{B}相对于{A}的平移矢量。如果点P在坐标系{B}中的位置为，则它相对于坐标系{A}的位置矢量可由矢量相加得出：BAPPBPA0ABABPPP=+14第二章机器人运动学§2.3映射—坐标变换2、旋转坐标系的映射设坐标系{B}和{A}有共同的原点，但是两者的方位不同。同一点P在两个坐标系{A}和{B}中的描述和具有以下变换关系，称为坐标系旋转方程。用旋转矩阵表示坐标系{B}相对于{A}的方位。同样，用描述坐标系{A}相对于{B}的方位。二者都是正交矩阵，两者互逆。PAPBPRPBABARABRBA1BAATABBRRRRAB15Example:Frame{B}isrotatedrelativetoframe{A}aboutZby30degrees.HereZispointingoutofthepage.Writingtheunitvectorsof{B}intermsof{A}andstackingthemasthecolumnsoftherotationmatrix:TheoriginalvectorPisnotchanged,wecomputeanewdescriptionrelativetoanotherframe.cossin00.8660.5000.000sincos00.5000.8660.0000010.0000.0001.000ABR0.02.00.0BP1.0001.7320.000AABBPRP第二章机器人运动学§2.3映射—坐标变换16第二章机器人运动学§2.3映射—坐标变换关于一般坐标系的映射坐标系{B}的原点与{A}的既不重合，方位也不相同。复合变换是由坐标旋转和坐标平移共同作用的。AABABBORGPRPP17第二章机器人运动学§2.3映射—坐标变换齐次变换复合变换式对于点而言是非齐次的，但是可以将其表示成等价的齐次变换形式：其中，4×1的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然记为或。上式可以写成矩阵形式：齐次变换矩阵也代表坐标平移与坐标旋转的复合,可将其分解成两个矩阵相乘的形式：110001PPRPBBAABApB10010100033RpIpRABBABAABpApBpTpBABA18第二章机器人运动学§2.3映射—坐标变换连续旋转平移变换连续相对转动，可把基本矩阵连乘起来，由于选转矩阵不可交换，故完成转动的次序是重要的。如果{B}坐标系相对于{A}坐标系的坐标轴转动，则对旋转矩阵左乘相应的基本旋转矩阵，如果{B}坐标系相对于{B}坐标系的坐标轴转动，则对旋转矩阵右乘相应的基本旋转矩阵。例：假设{B}相对{A}的轴依次进行了下面三个变换：1）绕x轴旋转度；2）接着平移；3）最后绕y轴旋转度。a123[,,]lllb123(,)(,,)(,)ABRRotyTranslllRotxba=创19Example:Frame{B}isrotatedrelativetoframe{A}aboutZby30degrees,translated10unitsin,andtranslated5unitin.Find,where.Thedefinitionofframe{B}isWeusethedefinitionof{B}justgivenatransformation:0.8660.5000.00010.00.5000.8660.0005.00.0000.0001.0000.00001ABT9.09812.5620.000AABBPTPˆAXˆAYAP[3.07.00.0]BTP第二章机器人运动学§2.3映射—坐标变换20第二章机器人运动学§2.4算子:平移、旋转和变换用于坐标系间点的映射的通用数学表达式被称为算子包括点的平移算子、矢量旋转算子和平移加旋转算子。1)平移算子（Translationaloperators）Atranslationmovesapointinspaceafinitedistancealongagivenvectordirection.Onlyonecoordinatesystemneedbeinvolved.Itturnsoutthattranslatingthepointinspaceisaccomplishedwiththesamemathematicsasmappingthepointtoasecondframe.Thedistinctionis:whenavectorismoved“forward”relativetoaframe,wemayconsidereitherthatthevectormovedforwardorthattheframemovedbackword.Themathematicsinvolvedinthetwocasesisidentical,onlyourviewofthesituationisdifferent.21第二章机器人运动学§2.4算子:平移、旋转和变换运算的结果得到一个新的矢量，计算如下：用矩阵算子写出平移变换whereqisthesignedmagnitudeofthetranslationalongthevectordirection.21AAAPPQ21()AAQPDqPˆQ22第二章机器人运动学§2.4算子:平移、旋转和变换算子可以被看成是一种特殊形式的齐次变换:式中是平移矢量Q的分量通过定义{B}相对于{A}的位置，(用),我们使得这两个描述具有相同的数学表达式。现在引入了，我们可以用它来描述坐标系和映射。100010()0010001xyQz