2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第45讲 空间几何体的表面积和体积

()会计算球、柱、锥台的表面积和体积不要求记忆公式．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2．空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=①________锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=②________台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=③__________球S=4pR2V=④________________3___.._drR过球心的平面截球所得的截面是一个圆，称为球的大圆，不过球心的平面截球所得的平面也是圆，称为球的小圆．球的小圆圆心与球心连接的线段与小圆面垂直，该线段长为，与小圆半径、球半径之间满足⑤32221 31()343ShShhSSSSRRdrp底底下上①；②；③；【要点指南】④；⑤1.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，3，2，则其外接球的表面积为8π.【解析】设其外接球半径为r，则(2r)2＝12＋(3)2＋22＝8，故r2＝2，所以S球＝4πr2＝8π.2.已知一空间几何体的三视图如图所示，它的表面积是()A．4＋2B．2＋2C．3＋2D．3【解析】由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，底面等腰直角三角形直角边长和棱柱的高都是1，故表面积S＝2×(12×1×1)＋2×(1×1)＋2×1＝3＋2.故选C.3.(2011·山东潍坊)如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是()A．2πB．3πC．6πD．9π【解析】由三视图可知，该几何体是一个由底面半径为2高为3的圆柱中间挖去一个底面半径为1的等高圆柱后余下的部分，所以，其体积为π×(22－12)×3＝9π.故选D.4.已知三棱锥P－ABC的各顶点都在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，OP⊥底面ABC，AC＝3R，则三棱锥的体积与球的体积之比是38π.【解析】三棱锥的体积为13R·32R2＝36R3，球的体积是43πR3，所以三棱锥的体积与球的体积之比是38π.5.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为324πR3.【解析】设圆锥的半径为r，高为h.由2πr＝πR，得r＝R2，从而h＝32R.所以V＝13πr2h＝324πR3.一空间几何体的表面积与体积【例1】(2011·郑州第二次质检)一个几何体的三视图如图所示，已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.【解析】(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V＝1×1×3＝3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1、CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋23.【点评】解决空间几何体的三视图、面积和体积计算问题的关键因素是“图”，根据“图”找到空间几何体中的几何元素之间的关系，想象出这个空间几何体的真实形状，然后通过推理论证和相关的计算找到我们所需要的几何体，根据相关公式进行计算．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为36.素材1【解析】这个几何体的直观图所图所示，其体积为12×(2＋4)×2×6＝36.二等积变换【例2】如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求该几何体的体积及截面ABC的面积．【解析】方法1：过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1、BB1于A2、B2.由直三棱柱性质可知B2C⊥平面ABB2A2，则V＝V柱A1B1C1－A2B2C＋V锥C－ABB2A2＝12×2×2×2＋13×12(1＋2)×2×2＝6.在△ABC中，AB＝22＋4－32＝5，BC＝22＋3－22＝5，AC＝222＋4－22＝23.则S△ABC＝12×23×52－32＝6.方法2：延长BB1、CC1到B3、C3，使得B3B1＝C3C1＝AA1.则V＝V柱A1B1C1－AB3C3－V锥A－BB3C3C＝12×2×2×4－13×12(1＋2)×2×2＝6.以下同方法1.【点评】解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法：1°几何体的“分割”依据已知几何体的特征，将其分割成若干个易于求体积的几何体，进而求解．2°几何体的“补形”有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．3°几何体的等积变形如三棱锥任何一个面都可作为底面．(2011·皖南八校第二次联考)如图DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝90°，求几何体B－ADE的体积．素材2【解析】因为DC⊥平面ABC，所以AC⊥DC，又AC⊥BC，所以AC⊥平面BCDE.所以VB－ADE＝VA－BDE＝13S△BDE·AC＝13×12×2×2×2＝43.三几何体的展开与折叠【例3】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1(底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC)中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC和NC的长．【解析】(1)正三棱柱ABC－A1B1C1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P即点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．设PC＝x，即P1C＝x.在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3＋x)2＋22＝29，解得x＝2，所以PC＝P1C＝2.因为NCMA＝P1CP1A＝25，所以NC＝45.【点评】(1)柱、锥、台的表面积，都是利用展开图求得的，利用了空间问题平面化的化归思路．(2)对于“多面体平面图形”这类题型，注意折叠(或展开)前后条件的转化和折叠(或展开)前后各面内的条件不变．有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？素材3【分析】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝AB2＋BC2＝5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm.四有关组合体问题【例4】有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为65π的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱．(1)求圆锥的体积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？【分析】由圆锥的侧面展开图，圆心角与半径的关系可求圆锥的母线长，底面半径和高．内接圆柱的侧面积是高x的函数，再用代数方法求最值．【解析】(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r，则2πr＝5×6π5，所以r＝3，则圆锥的高为4，故体积V＝13πr2×4＝12π.(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形．设圆柱的底面半径为y，则3－y3＝x4，得y＝3－34x.圆柱的侧面积S(x)＝2π(3－34x)x＝32π(4x－x2)＝32π[4－(x－2)2](0＜x＜4)．当x＝2时，S(x)有最大值6π.所以当圆柱的高为2时，有最大侧面积6π.【点评】旋转体的接、切问题常考虑其相应轴截面内的接、切情况，实际是把空间图形平面化．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa3C.113πa2D．5πa2素材4【解析】设球心为O，设正三棱柱上底面为△ABC，中心为O′，因为三棱柱所有棱的长都为a，则可知OO′＝a2，O′A＝33a，又由球的相关性质可知，球的半径R＝OO′2＋O′A2＝216a，所以球的表面积为4πR2＝73πa2.故选B.备选例题底面直径为2，高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A，如图所示：(1)求面积A以x为自变量的函数式；(2)求截得棱柱的体积的最大值．【解析】(1)A＝x·4－x2(0x2)．(2)V＝x·4－x2·1＝x24－x2＝－x2－22＋4.因为0x2，所以当x＝2时，Vmax＝2.123“”“”()．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．．要注意将空间问题转化为平面问题．．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用割、补的技巧，化复杂几何体为简单几何体柱、锥、台，或化离散为集中，给解题提供便利．12?”3几何体的“分割”几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．几何体的补形与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等，另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．