2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第46讲 空间点、线、面的位置关系

1(13)2．借助长方体模型，在直观地认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可作为推理依据的公理～．．了解空间两条直线的位置关系，掌握异面直线所成的角的概念，会用平移法作出异面直线所成的角，并求角的大小．_________________________________()______1_____4_23：如果一条直线上的①在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．过②的三点，有且只有一个平面．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们③过该点的公共直线公一、平面的基本性质及公理理公理：公理：公．平行公理平行于④的两直线互理：相平行．121////______()2abOaabbabab．位置关系的分类⑤共面直线⑥异面直线：不同⑦在一个平面内．异面直线所成的角定义：设，是两条二、直线与直异面直线，经过空间中任一点作直线，，把与所成的⑧叫做异面直线的位置线与所成的角或夹角关．系范围__________________.：⑨三、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面a内直线a在平面a内直线a在平面a内公共点有⑩____个公共点有且只有____个公共点____个公共点符号表示_____________________________图形表示四、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行________________公共点两平面相交斜交垂直有____个公共点，且都在一条直线上有____个公共点，且都在一条直线上_______.空间中如果两个角的两边分别对应平行，五那么这两个角、等角定理(0]21////aaAaalaaaaa①两点；②不在同一直线上；③有一条；④同一直线；⑤相交直线；⑥平行直线；⑦任何；⑧锐角或直角；⑨，；⑩无数；；没有；；；；；没有；；无数；；无数；【相要点指南】等或互补1.已知直线a∥直线b，b∩c＝A，则直线a与直线c的位置关系是()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．一定是平行直线D．相交直线或异面直线【解析】直线a与c不可能是平行直线，否则与条件矛盾．2.下列四个命题中，真命题的个数为()①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．A．1B．2C．3D．4【解析】①两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故①不正确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故④不正确；据平面的性质可知③正确，故选A.3.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M【解析】通过A、B、C三点的平面γ，即是通过直线AB与点C的平面，M∈AB，所以M∈γ，而C∈γ，又因为M∈β，C∈β，所以γ和β的交线必通过点C和点M.4.下列结论：①平行与同一直线的两条直线平行；②如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等；③如果两异面直线所成的角是直角，则它们垂直．则其中正确的有______个．()A．0B．1C．2D．3【解析】如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补，所以②不正确．5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、AD的中点，则AD1与EF所成角的大小为60°.【解析】连接B1D1(图略)，因为EF∥B1D1，而三角形AB1D1是等边三角形，所以AD1与B1D1所成的角为60°，从而EF与B1D1所成的角为60°.一平面的基本性质及平行公理的应用【例1】(2010·淮安模拟)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【解析】(1)连接EF，CD1，A1B.因为E、F分别是AB、AA1的中点，所以EF∥BA1.又A1B∥D1C，所以EF∥CD1，所以E、C、D1、F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EFCD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1，又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA，所以CE、D1F、DA三线共点．【点评】1.证点、线共面的常用方法：(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明α、β重合．2．点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这个平面的交线上．3．证线共点问题证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面．又D∈FH，所以C、D、F、E四点共面．二空间线面的位置关系【例2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG⊂平面ABCD且直线FG∥A1B1.【解析】因为E为CD的中点，在正方体中，AE⊂平面ABCD，又AE∩BC＝F，所以F∈AE，所以F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG⊂平面ABCD.所以四边形CFGD是平行四边形，所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥A1B1.【点评】空间直线的位置关系，常需利用线面、面面、线线的关系确定，推导时需有理有据．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝13AB1，BN＝13BC1，则下列结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN中，正确命题的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个素材2所以MNPQ为平行四边形，所以MN∥PQ，所以①③对．由BPBC＝13，BQBA＝23知PQ不平行于AC.所以MN不平行于A1C1，所以②错．由B1D1⊥A1C1，而MN不垂直于B1D1.三求异面直线所成的角【例3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°。(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．【解析】(1)在四棱锥P－ABCD中，因为PO⊥平面ABCD，所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°.在Rt△AOB中，BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，所以PO＝BO·tan60°＝3.因为底面菱形的面积S＝2×12×2×2×32＝23，所以四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝13×23×3＝2.(2)取AB的中点F，连接EF、DF.因为E为PB的中点，所以EF∥PA.所以∠DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角)．在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝3＝OP，所以在Rt△POA中，PA＝6，所以EF＝62.在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝3.由余弦定理，得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE·EF＝32＋622－322×3×62＝6432＝24.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为24.【点评】异面直线所成的角一般采用平移法解决，解题中要注意异面直线所成的角的范围为(0,90°]．正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．素材3【解析】(1)如图所示，连接B1C.由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°，即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC，所以EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.备选例题已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与β、α与γ均相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则()A．∀b⊂β，b⊥γB．∀b⊂β，b∥γC．∃a⊂α，a⊥γD．∃a⊂α，a∥γ【解析】选项A中β⊥γ，但并不是平面β内的任意直线都与平面γ垂直，故选项A不正确；由于β⊥γ，只有在平面β内与平面β与γ的交线平行的直线才和平面γ平行，选项B不正确；若存在a⊂α，a⊥γ，则必然α⊥γ，选项C不正确；只要在平面α内存在与平面α与γ的交线平行的直线，则此直线平行于平面γ，故选项D正确．1()2233．平面的三个基本性质是立体几何的推理依据，要注意通过作图特别是截面图的训练，加深对公理的掌握和理解．确定平面的公理及三个推论是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据．．证明若干个点共线的重要方法之一是证明这些点分别是两个平面的公共点，再由公理可知它们共线．．证明点共面，线共面的基本途径是由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其他元素也在该平面内．44567．学习空间平行直线时，要掌握等角定理，并能熟练地应用公理论证有关直线平行问题．．理解异面直线的定义，对“不同在任何一个平面内的两条直线”要有深刻的认识．．求两条异面直线所成角的大小的具体步骤是：①选点平移；②证明所作角为异面直线的夹角；③解三角形求角．．处理异面直线问题，通常的思路是将空间问题平面化处理．