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以立体几何的相关定义、公理和定理为出发点，认识和理解直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理．1________________.2_____________//.3__________1//aaaaabaaa定义：如果直线与平面①公共点，则直线与平面平行，记作②判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线③，则该直线与此平面平行．用符号表示为：，，且④性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线．直线与平面平行⑤。用符号表示为：，，__.l⑥1_______________.////2______________________//.2ababP定义：如果平面与平面⑦公共点，则平面与平面平行，记作⑧特别提醒：两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行，即“面面线面”．判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面⑨，则这两个平面平行．用符号表示为：，．平面与平面平行的判定与性质，，，3__________.//_______.////////////.abaabab性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线用符号表示为：，，特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如，不一定得到，同时，也不一定得到//////////////aabalbab①没有；②；③平行；④；⑤平行；⑥；⑦没有；⑧；⑨平行；⑩；；平行；【要点指南】1.已知直线a⊄α，直线b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解析】由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但a∥α时，a与b的位置关系是平行或异面，即必要条件不成立，故选A.2.若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内且过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一的一条与a平行的直线【解析】若a⊂β，B∈a，则同样满足直线a∥α，所以平面β内过B所在的直线中，不一定存在与直线a平行的直线．故选A.3.平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【解析】A、B、C中α与β都有可能相交．4.对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是()A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若a∥b，b⊂α，则a∥αC．若a⊂β，b⊂β，a∥α，则β∥αD．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b【解析】对于A，当m∥n时，a⊥α不成立，所以A不正确；对于B，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，所以B不正确；对于C，若a⊂β，b⊂β，a∥α，则α与β可能平行，也可能相交，所以C不成立；若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b则必有a∥b.5.下列结论中正确的是()A．直线l与平面α平行，记作l∩α＝AB．平行于同一平面的两个平面平行C．与一个平面同时相交的两个平面不可能平行D．分别在两平行平面内的两直线必平行【解析】l∩α＝A表示直线l与平面α相交，所以A不正确；与一个平面同时相交的两个平面有可能平行，所以C不正确；分别在两平行平面内的两直线可能异面，所以D不正确．一平行判断的基本应用【例1】m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中是真命题的是()A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】确定命题正确常常需要严格的证明，判断命题错误只需一个反例就可以了．如图在正方体A′C中，平面B′C垂直平面A′C′，直线AD平行平面B′C，但直线AD并不垂直平面A′C′，故②错误，排除C、D；由线面平行的判定定理知，④缺少m⊄α的条件，故④错误，故选A.【点评】(1)运用立方体的模型判断命题的真假，是解此类问题最常见的方法，解题时除了考虑正方体各侧面、各侧棱、侧面对角线、正方体的对角线外，也应考虑正方体的对角面内的各条线段，经过反复验证，错误命题就会被排除掉．(2)在判断命题真假时，常就地取材，借助笔、手指、桌面、书本面等作为直线和平面的模型，构造符合条件的实体模型，然后考虑结论是否成立．这是解决此类问题的最直观有效的方法．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题中为真命题的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥βC．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β素材1【解析】选项A中，直线a可能在平面α内；选项B中，直线a可能在平面β内；选项C中，直线a，b为相交直线时命题才成立．二直线与平面平行的判定和性质【例2】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、O分别是A1B、AC的中点．求证：OM∥平面BB1C1C.【证明】方法1：连接AB1，B1C，如右图．因为M是AB1的中点，O是AC的中点，所以MO∥B1C.又MO⊄平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，所以OM∥平面BB1C1C.方法2：取AB的中点N，连接MN、ON，如图，则MN∥BB1.又MN⊄平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.同理可得ON∥平面BB1C1C.又MN∩ON＝N，所以平面MON∥平面BB1C1C.而OM⊂平面MON，所以OM∥平面BB1C1C.【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．求证：直线EE1∥平面FCC1.素材2【证明】在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，FF1，则四边形FCC1F1是平行四边形．因为AB＝2CD，且AB∥CD，所以CDA1F1，所以四边形A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D.又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1.又因为EE1⊄平面FCC1，CF1⊂平面FCC1，所以直线EE1∥平面FCC1.三平面与平面平行的判定与性质【例3】如图，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.【证明】连接A1C交AC1于点E.因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点．连接ED.因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED.因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点．又因为D1是B1C1的中点，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD.又A1D1∩BD1＝D1，所以平面A1BD1∥平面AC1D.【点评】证明面面平行的常用方法：①面面平行的定义；②面面平行的判定定理；③两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面平行．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.素材3【证明】(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB、AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，BG⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.备选例题如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，设M在线段AB上，且满足AM＝2MB.试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【解析】在△ABE中，过M点作MG∥AE交BE于G点．在△BEC中，过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN.则由比例关系易得CN＝13CE.因为MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以MG∥平面ADE.同理，GN∥平面ADE.又MG∩GN＝G，所以平面MGN∥平面ADE.而MN⊂平面MGN，所以MN∥平面ADE.所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．1两个平面的位置关系是空间中各种元素位置的“最高境界”，解决空间两个平面的位置关系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证线面问题，再退证线线问题．充分揭示了面面、线面、线线相互之间．的转化关系．12312323证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行；证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直．证明一个平面内的两条相交直线与另一个平．直面平行；证明两个平线面与平面相互同时和第三平行的证明方法：．平面和平面相互个平面平行；证明两个平面的法平行的证明方法：向量相互平行．