2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第50讲 用向量方法证明空间中的平行与垂直

1．了解直线的方向向量与平面的法向量的概念；能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．2．能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中的工具性作用．__________()__________()=,__________112lAlllABlPt线这条线对应①线显条线②个线应线间线ⅰ线点线点线则对线点线实数③这样应直的方向向量就是指和直所或共的向量，然一直的方向向量可以有．直方向向量的用利用直的方向向量，可以确定空中的直和平面．若有直，是直上一，向量是方向向量，，在直上取于直上任．直的方向向量及其用意一，一定存在，使得，，aa平行无数APtABAall点和向量不仅可以确定的位置，还可具体表示出的任意点．()()__________aaOabPaxyOPOabaaⅱ空间中平面的位置可以由上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点，它们的方向向量分别是和，为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对，，使得④，这样，点与方向向量，不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出上的任意点．xyab1____________________2_2_________AaaA所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有⑤个，它们都是⑥向量．在空间中，给定一个点和一点向量，那么以向量为法向量且．平面的法向经过点的平面是⑦量确定的．无数共线唯一3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线l1的方向向量u1=(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2=(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔⑧__________；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔⑨__________；直线l的方向向量为u=(a1，b1，c1)，平面的法向量为n=(a2，b2，c2)．若l∥，则u⊥n⇔un=0⇔⑩__________；若l⊥，则u∥n⇔u=kn⇔⑪__________；平面1的法向量为u1=(a1，b1，c1)，平面2的法向量为u2=(a2，b2，c2)．若1∥2，则u1∥u2⇔u1=ku2⇔⑫__________；若1⊥2，则u1⊥u2⇔u1u2=0⇔⑬__________.①平行；②无数；；④xa+yb；⑤无数；⑥共线；⑦唯一；⑧(a1，b1，c1)=(a2，b2，c2)；⑨a1a2+b1b2+c1c2=0；⑩a1a2+b1b2+c1c2=0；⑪(a1，b1，c1)=k(a2，b2，c2)；⑫(a1，b1，c1)=k(a2，b2，c2)；⑬a1a2+b1b2+c1c2=0【要点指南】1.(2012·河源模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB→，AC→垂直，则向量a为()A．(1,1,1)B．(－1，－1，－1)C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)【解析】AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，代入a＝(1,1,1)和a＝(－1，－1，－1)，验算知a·AB→＝0，a·AC→＝0，又|a|＝3，故选C.2.(2012·广州调研)已知a＝(1，－32，52)，b＝(－3，λ，－152)满足a∥b，则λ等于()A.23B.92C．－92D．－23【解析】因为a∥b，所以1－3＝－32λ＝52－152，解得λ＝92，故选B.3.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)【解析】要使l∥α，则必须a⊥n，故a·n＝0，经验算，仅选项D符合要求，故选D.4.已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列各点中，在平面α内的是()A．A(2,3,3)B．B(－2,0,1)C．C(－4,4,0)D．D(3，－3,4)【解析】由已知平面α的法向量n与平面α内的任何直线垂直，又MA→＝(1,4,1)，MA→·n＝6－12＋6＝0，所以MA→⊥n，故选A.5.设AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，n＝(x，y,1)为面ABC的一个法向量，则x＝12，y＝－1.【解析】由已知n·AB→＝0n·AC→＝0，故2x＋2y＋1＝04x＋5y＋3＝0，解得y＝－1，x＝12.一利用向量证空间中的平行问题【例1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD.【证明】方法1：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则可得M(0,1，12)，N(12，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．于是MN→＝(12，0，12)，DA1＝(1,0,1)，DB→＝(1,1,0)．设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·DA1→＝0，且n·DB→＝0，可得x＋z＝0x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1，所以n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，所以MN→⊥n.又因为MN⊄平面A1BD，所以MN∥A1BD.方法2：因为MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→.所以MN→∥DA1→，又因为MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.【点评】用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；(4)本题易错点为：只证明MN∥A1D，而忽视MN⊄平面A1BD.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.素材1【证明】(1)如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)．所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE一个法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即n1·DA→＝2x1＝0n1·AE→＝2y1＋z1＝0，解得x1＝0z1＝－2y1.令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n，又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)由(1)得B1(2,2,2)，C1B1→＝(2,0,0)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，则n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，即n2·FC1→＝2y2＋z2＝0n2·C1B1→＝2x2＝0，解得x2＝0z2＝－2y2.令z2＝2，则y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.二利用空间向量证明垂直问题【例2】如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解析】因为△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD，即AD、AB、AE两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)．(1)因为FA＝FE，∠AEF＝45°，所以∠AFE＝90°，从而F(0，－12，12)，EF→＝(0，－12，－12)，BE→＝(0，－1，1)，BC→＝(1,0,0)，于是EF→·BE→＝0，EF→·BC→＝0，所以EF⊥BE，EF⊥BC.因为BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)M(0,0，12)，P(1，12，0)，从而PM→＝(－1，－12，12)．于是PM→·EF→＝(－1，－12，12)·(0，－12，－12)＝0＋14－14＝0.所以PM⊥EF，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.【点评】直线与直线垂直，只需证明它们的方向向量的数量积为0；直线与平面垂直，只需证明直线的方向向量和平面的法向量共线，或证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直；平面与平面垂直，只需证这两个平面的法向量的数量积为0.如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.素材2【证明】(1)取BC的中点O.因为平面PBC⊥平面ABCD，△PBC为等边三角形，所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，直线OP为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝3.所以A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，3)，所以BD→＝(－2，－1,0)，PA→＝(1，－2，－3)．因为BD→·PA→＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，所以PA→⊥BD→，所以PA⊥BD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M(12，－1，32)．因为DM→＝(32，0，32)，PB→＝(1,0，－3)，所以DM→·PA→＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，所以DM→⊥PA→，即DM⊥PA.又DM→·PB→＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，所以DM→⊥PB→，即DM⊥PB.又因为PA∩PB＝P，所以DM⊥平面PAB.因为DM⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB.三利用空间向量解决探索性问题【例3】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：如图，以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)，AP→＝(0,3,4)，BC→＝(－8,0,0)，因为AP→·BC→＝0，所以AP→⊥BC→，即AP⊥BC.(2)设PM→＝λPA→，λ≠1，则PM→＝λ(0，－3，－4)，BM→＝BP→＋PM→＝BP→＋λPA→＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC→＝(－4,5,0)，BC→＝(－8,0,0)．设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)．由BM→·n1＝0BC→·n1＝0，得－4x1－2＋3λy1＋4－4λz1＝0－8x1＝0，即x1＝0z1＝2＋3λ4－4λy1.可取n1＝(0,1，2＋3λ4－4λ)．由AP→·n2＝0AC→·n2＝0，即3y