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1．了解随机事件的含义，了解频率与概率的区别．2．理解古典概型，掌握其概率计算公式，会求一些随机事件发生的概率．3．了解几何概型的意义及其概率的计算方法，会计算简单几何概型的概率．4．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．1S__________S2S__________S3S__1_________S必然事件：在条件下，①的事件称为相对于条件的必然事件．不可能事件：在条件下，②的事件称为相对于条件的不可能事件．随机事件：在条件下，③的事件称为相对于条件的随．事件机事件．1322如果试验满足下列三个特性：可以在相同的条件下重复进行；每次试验的结果具有多种可能性，试验前可以明确知道所有的可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现，则称该试验为随．随机试验机试验．1_________3_AnAnAnAAA频数与频率：在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为．频率和概率事件出现的频数，称事件出现的比例④为事件出现的频率．2__________.AAA概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件发生的频率具有稳定性．这时，把这个常数叫做随机事件的概率，记作⑤__________(0)(1)4任何事件的概率是⑥之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率接近事件很少．随机发生，而大概率接近事件则经事件的概率常发生．5基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，每次试验只出现其中的一个基本事件，其他事件可以用它们．基本事件来表示．1()2_______.6把具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：试验的所有可能结果基本事件只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；每一个试验结果出现．古典概型的可能性⑦7()8nAmA__________.A．古典概型的概率计算公式．对于古典概型，若试验的所有基本事件数为，随机事件包含的基本事件数为，则事件的概率为⑧如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积、体积成比例，则称这样的概率模型为几几何概型何概型．____________________910.PA一是⑨，即每次试验的基本事件个数可以是无限的；二是⑩，即每个基本事件的发生．几何概型的两个特点．几何概型的概率计是等可算公式能的．⑪11随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数．随机数的机的含义会一样．01 AnPAnmPAnA①一定会发生；②一定不会发生；③可能发生也可能不发生；④；⑤；⑥到；⑦相同；⑧；⑨无限性；⑩等可能性；构成事件的区间长度（面积或体积）⑪试验全部结果所构成的区域长度（面【要点指南】积或体积）1.下列事件中是随机事件的是()A．在标准大气压下，水加热到8℃时会沸腾B．汽车排放尾气，一定污染环境C．把9写成两个数的和，其中有一个数小于3D．任取一个正方体的三个顶点，这三个顶点不共面【解析】由必然事件，不可能事件和随机事件的含义判断选项A、D是不可能事件，B是必然事件，而C是随机事件，故选C.2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0B.13C.12D.23【解析】1－P(ξ＝0)＝2P(ξ＝0)，即P(ξ＝0)＝13.3.某射击运动员射击命中9环以上的概率为40%，射击中心用随机模拟的方法估计这名射击运动员三次射击中命中9环以上两次的概率，先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中9环以上，4,5,6,7,8,9表示没有命中9环以上，再以每三个随机数为一组，代表三次射击结果，经随机模拟产生如下10组随机数：431,257,392,023,551,488,731,752,534,989据此估计该运动员射击三次恰好有两次命中9环以上的概率为0.3.【解析】表示恰好两次命中9环以上的随机数组有：431,392,731，共三组，因此射击三次恰有两次命中9环以上的概率P＝310＝0.3.4.把10张质地相同的卡片分别写上数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9后，任意搅乱放入一纸箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字小于3的概率是310.【解析】从10张卡片中任取一张共有10种可能，其中小于3的有0,1,2共3种，故所求事件的概率P＝310.5.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于16的概率是12.【解析】设点M1到平面ABCD的距离为h.若VM1－ABCD＝13SABCD·h＝16，则h＝12，可知所有满足到平面ABCD的距离小于12的点M，使得VM－ABCD16，所以点M在以ABCD为底面，高为12，体积为12的长方体内，从而所求概率P＝12V正方体＝12.一古典概型【例1】有10个学生，分别佩带着从1号到10号的校徽，任意取3人记录其校徽的号码．(1)求最小号码为5的概率；(2)求3个号码中至多有一个是偶数的概率；(3)求3个号码之和不超过9的概率．【解析】(1)从10人中任取3人，共有C310种，最小号码为5，相当于从6,7,8,9,10共五个中任取2个，则共有C25种结果．则最小号码为5的概率为P＝C25C310＝112.(2)选出3个号码中至多有一个是偶数，包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况，共有C35＋C15C25种．所以满足条件的概率为P＝C35＋C15C25C310＝12.(3)3个号码之和不超过9的可能结果有：(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,2,6)、(1,3,4)、(1,3,5)、(2,3,4)．则所求概率为P＝7C310＝7120.【点评】古典概型有两个特点：①试验结果有限；②每个试验结果是等可能的．解题时，关键是要找出所有基本事件总数和所求基本事件数，常常需要用到排列组合、列举的方法和分类讨论的思想．现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各一名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．素材1【解析】从7人中分别选出数学、物理、化学成绩优秀者各一名，共有C13C12C12＝12种，而C1被选中，共有C13C12＝6种，故C1被选中的概率P1＝612＝12.(2)用N表示事件“A1，B1不全被选中”，由于A1，B1全被选中共有C12＝2种，从而A1，B1不全被选中共有12－2＝10种，故P(N)＝1012＝56.二几何概型及计算【例2】(2011·福建卷)(1)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23(2)(2011·湖南卷)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(ⅰ)圆C的圆心到直线l的距离为________；(ⅱ)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．(3)(2011·江西卷)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为__________．【解析】(1)因为S△ABE＝12|AB|·|BC|，S矩形＝|AB|·|BC|，则点Q取自△ABE内部的概率P＝S△ABES矩形＝12，故选C.(2)(ⅰ)圆心到直线的距离为d＝|－25|32＋42＝5.(ⅱ)当圆C上的点到直线l的距离是2时有两个点为点B与点D，设过这两点的直线方程为4x＋3y＋a＝0，同时可得到圆心到直线4x＋3y＋a＝0的距离为OC＝3.又圆的半径为r＝23，可得∠BOD＝60°，由图可知点A在弧BD上移动，弧长lBD＝16×c＝c6，圆周长为c，故P(A)＝lBDc＝16.(3)设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－122π－142ππ＝1316.【点评】几何概型的特征是：基本事件是由某一区间上某区域内，某几何体内的点构成，其概率P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.(1)假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，求其等车时间不超过3分钟的概率为0.3.(2)如图，在一个边长为a(a0)的正方形内画一个半圆，其半径为r(0r≤a2)，向该正方形内随机投一点，则所投的点落在半圆内部的概率为πr22a2.素材2【解析】(1)要使得等车的时间不超过3分钟，即到达的时刻应该是下图中A包含的时间点．故P＝A的长度S的长度＝310＝0.3.(2)记A＝{所投的点落在半圆内部}．因为S正方形＝a2，S半圆＝12πr2＝πr22，所以P(A)＝πr22a2＝πr22a2.故所投的点落在半圆内部的概率是πr22a2.三频率估计概率及应用【例3】(2011·陕西卷)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用的时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【解析】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6；P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，则P(A1)P(A2)，故甲应选择L1；因为P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，则P(B2)＞P(B1)，所以乙应选择L2.【点评】虽然频率与概率的含义有差异，一般地概率是频率的近似值，但在实际问题中常常用频率估计对应事件发生的概率，同时在研究实际问题要求收集数据，整理数据，并分析数据的意义．某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：(1)求此运动员射击环数的平均数；(2)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m次，n次，每个基本事件为(m，n)，求“m＋n≥10”的概率．素材3【解析】(1)运动员射击的总的次数为2＋7＋8＋3＝20，则运动员射击环数的平均数为120(2×7＋7×8＋8×9＋3×10)＝17220＝8.6.(2)记A表示事件“m＋n≥10”，基本事件(m，n)的所有结果数为A24＝4×3＝12种，而事件A所包含的结果为(2,8)，(7,8)，(3,8)，(3,7)，(8,2)，(8,7)，(8,3)，(7,3)共8种，故P(A)＝812＝23.备选例题(2011·惠州市第一次模拟)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域x＋y－8≤0x0y0内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．【解析】(1)因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝2ba，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a0且2ba≤