高中数学选修4-4坐标系

xxz根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.12通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：112xxyy上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点12,pxy（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sinxyx在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。223xxyy设点P（x,y）经变换得到点为,pxy（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sin2xyx在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点P（x,y）经变换得到点为通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。3123xxyy定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0,pxy例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=1213xxyy解：由伸缩变换230xy代入1213xxyy得0xy得23xxyy221xy代入得22149xy1222133xxxxyyyy由伸缩变换得1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线0xxyy1解：设伸缩变换，221xy代入得22221xy224936xy又1312则1312xxyy得221xy2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程并画出图形。3xxyy2299xy22999xy得221xy即2299xy3xxyy2.解：将代入课堂小结：（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。题型一轨迹探求例1线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB|＝4，求AB中点P的轨迹方程．设P(x，y)，由于△OAB是直角三角形，P为AB的中点，所以，|OP|＝12|AB|，即x2＋y2＝12×4，即x2＋y2＝4.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当的坐标系，显然以互相垂直的两直线分别为x轴，y轴最合适．解析：解法一以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，如图所示．解法二建立直角坐标系，同解法一．设P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)，则x＋y＝16.①又P为AB的中点，所以x1＝2x，y2＝2y.代入①，得4x2＋4y2＝16.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝4点评：1．求曲线方程一般有下列五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化；(2)写出适当条件P下的点M的集合：{M|P(M)}；(3)用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；(4)化简方程f(x，y)＝0(必须是等价变形)；(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上，补上遗漏点或挖去多余点．一般地，方程的变形过程是等价的，步骤(5)可以省略．2．求曲线方程主要有以下几种方法：(1)条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或ρ、θ)的等式，我们称之为“直译”．(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点．如果相关点满足的条件简单、明确，就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹．(3)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动点的轨迹方程．(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程再确定其中的基本量．3．在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注意：(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解题过程简化，减少计算量．(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的基础上求曲线方程．如果只求出曲线的方程，而没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后的结论是不完备的．(3)坐标系建立不同，同一曲线的方程也不相同．1．已知线段AB长4，则以AB为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．►变式训练答案：x2＋y2＝4(x≠±2)点评：若已知P(x，y)是伸缩变换之前图形f(x，y)＝0上的任意一点，在变换x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0）的作用下，得到了P(x，y)在变换下的对应点P′(x′，y′)，因而可以求得变换后的图形方程f(x′，y′)＝0，反过来，变换又可以表示为x＝1λχ′（λ0），y＝1μy′（μ0），点P(x，y)对应得到点P′(x′，y′)，即由变换可得出f(x，y)＝0.我们还可以由变换前后的方程求出对应的伸缩变换，这时只要求出λ，μ的值即可．在坐标伸缩变换的的作用下，可以实现平面图形的伸缩，即平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换φ：x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0）的作用下，直线变成直线，圆可以变成椭圆，椭圆可以变成圆等．析疑难提能力例由y＝sinx伸缩得到变换得到y＝sin2x，横坐标是伸长为原来的2倍，还是缩为原来的12？错解：由y＝sinx到y＝sin2x，横坐标是伸长为原来的2倍．分析：将公式x′＝kx，y′＝y代入y′＝sin2x′中得y＝sin2kx，将y＝sin2kx与y＝sinx比较系数可得k＝12，所以由y＝sinx到y＝sin2x的伸缩变换是每个点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，这与函数解析式y＝sin2x的形式正好相反．正解：将变换后的曲线y＝sin2x改写成y′＝sin2x′，设伸缩变换为x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0）.代入上式得μy＝sin(2λx)，即y＝1μsin(2λx)，比较系数得2λ＝1，1μ＝1，解得λ＝12，μ＝1.故伸缩变换为x′＝12x，y′＝y.由伸缩规律可知：由y＝sinx到y＝sin2x的伸缩变换是每个点的纵坐标不变，横坐标为原来的12.易错点：不理解伸缩变换的定义导致错误【易错点辨析】对于平面直角坐标系中的伸缩变换关系式x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0），要区分(x，y)与(x′，y′)的意义，在应用时必须注意：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．