梁的基础知识

梁的基础知识为什么研究梁？联系与区别离散系统（有限自由度）——三要素（质量、弹簧、阻尼）——常微分方程连续系统（无限自由度）——弹性体原件（杆、梁、轴、板等）——偏微分方程常微分方程（个数与自由度数相同、自变量是t）偏微分方程（自变量有时间t、位置x）研究梁的什么？振动方面：固有频率（特征行列式为0，三角函数）振型（每个固有频率对应一个振型）响应（叠加，振型叠加法，正交性）固有频率特征方程（行列式、线性代数）方程的处理（高数微分方程）列方程（理论力学、材料力学）欧拉梁与铁木辛柯梁求解这两种梁时的思路是一致的，只是铁木辛克梁考虑了转动惯量与剪切变形的影响，所以在列运动方程时复杂一点，本质区别2处：1、欧拉梁中弯矩与挠度关系中涉及到的转角，是由弯矩引起，而铁木辛克梁中考虑了剪切变形，存在由剪力引起的转角。2、列转动方程时，后者由于考虑了转动惯量的影响，会多出一项。欧拉梁设梁的长度为l，材料密度和弹性模量为和E，截面积和截面二次矩为S(x)和I(x)，为单位长度质量，EI(x)为梁的抗弯刚度。作用在梁上的单位长度分布载荷为𝑓(𝑥,𝑡，取厚度为dx的微元体进行受力分析，其中FS和M分别表示剪力和弯矩，箭头指向正方向(材料力学规定的正方向)。)()(xSxl铅垂方向受力平衡+转动方程此方程含对空间变量x的四阶偏导数和对时间变量t的二阶偏导数，求解时必须列出4个边界条件和2个初始条件。常见的边界条件：位移、转角（几何边界条件）弯矩、剪力（力的边界条件）（1）固定端（2）铰支端（3）自由端解方程——梁的自由振动（分离变量法）高数知识（写成简单的形式）自由振动方程(10)的解可以写为𝑞(𝑡=𝛼sin(𝜔 𝑡+𝜃ωi和φi(x)构成系统的第i阶主振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加:其中积分常数θi和ai由系统的初始条件确定),2,1()sin()(),()(itxatxyiiiii1)sin()(),(iiiiitxatxy简支梁为例，求固有频率与振型梁弯曲振动振型函数的一般表达式为：简支端的边界条件（位移、弯矩为0）xshCxchCxCxCx4321sincos)(0)()(),(tqxtxy0)(x0),()(),(22xtxyxEItxM0)(x简支梁的边界条件为0)(,0)(0)0(,0)0(llxshCxchCxCxCx24232221sincos)(xchCxshCxCxCx4321cossin)(0)0(031CC0)0(031CC0,031CC0)(l0)(l0sin42lshClC0sin42lshClC04lshC0lsh04C振型函数表达式变为：0sinl频率方程),2,1(iili固有频率为),2,1(2iEIlili24EIl振幅，模态实验),2,1(sin)(ixlixi简支梁的各阶振型响应的求解（振型叠加法）振型函数正交性：如同坐标系xyz（1）不同固有频率对应的振型函数关于质量的正交性：正则化ljiljidxxxx0)(0)()()(lijjiljidxxxx0),2,1,()()()(（2）不同固有频率的振型函数关于刚度的正交性：正则化),2,1,()()()(20jidxxxxEIijijli00()[()()]()()()0()lljijixEIxxdxEIxxxdxij根据振型函数的正交性，可将多自由度系统模态叠加法的思想应用于连续系统。即将弹性体的振动表示为各阶模态的线性组合，用于计算系统在激励作用下的振动规律。以承受分布载荷作用的细直梁的弯曲振动方程为例初始状态：将方程的解写作振型函数的线性组合：),(),()(),()(222222txfttxyxxtxyxEIxl)0,()0,(xyxy,1)()(),(jjjtqxtxy将之代入动力学方程可得：将上式各项与φi(x)相乘后沿梁的全长积分：交换积分与求和次序：11),()(])()([)()()(jjjjjjltxftqxxEItqxx00110()()()()()[()()]()()(,)lllijjijjjjlixxxqtdxxEIxxqtdxxfxtdx00110()()()()()[()()]()()(,)lllijjijjjjlixxxdxqtxEIxxdxqtxfxtdx利用正交性条件可得：其中Qi(t)是与广义坐标qi(t)对应的广义力，解可利用杜哈梅积分写出：广义坐标和广义速度的初始值由初始条件确定：2()()()(1,2,)iiiiqtqtQtiliiidxxtxftQ0),2,1()(),()(tqtqdtQtqitiiiiiiiisin)0(cos)0()(sin)(1)(000(0)()(,0)()(0)()(,0)()lilililiqxyxxdxqxyxxdx解出响应1)()(),(jjjtqxtxy欧拉梁铁木辛柯梁忽略剪切变形时，微段为虚线所示，截面法线与梁轴线的切线重合。考虑剪切变形时，截面法线与梁轴线之间有一夹角AGkQxyAGxykQ)(1AGxykQ)(由材料力学知微段在y方向移动的运动方程仍为：xEIM022xQtyl0)(22xyAGkxtyl由于考虑微段转动惯量的影响，微段的转动方程为：022QxMtI0)(22xyAGkxEIxtI对于等截面梁，由上两式消去ψ，可以得式中第三项和第四项表达了转动惯量和剪切变形的影响，该方程仍可用分离变量法求解。对于简单的梁，可以利用端点条件求出固有频率和主振型，对于复杂的梁，可以用传递矩阵或其他近似解法。0)1(4422242244tyGkItxyGkEItyxyEIl