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空间图形的基本关系与公理基本题型题组一共面问题1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．62．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．题组二共线问题3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．题组三(文)点线、平面之间的位置关系5.l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是()A．异面或平行B．相交C．异面D．相交或异面6．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．47．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的序号有________．题组三异面直线及其所成角5.在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是()A．相交直线B．平行直线C.不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线6．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直7．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．8.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．答案题组一共面问题1．(2009·湖南高考)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．6解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．答案：C2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④题组二共线问题3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1CÔ平面ACC1A1，∵M在A1C上，∴M在平面ACC1A1内，又M在平面AB1D1内，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线．答案：A4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．证明：∵AB∥CD，∴AB、CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，ABβ，∴E在α内，E在β内，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F、G、H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E、F、G、H四点必定共线．题组三(文)点线、平面之间的位置关系5.l1、l2是两条异面直线，直线m1、m2与l1、l2都相交，则m1、m2的位置关系是()A．异面或平行B．相交C．异面D．相交或异面答案：D6．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：A7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的序号有________．解析：①∵E、F分别是PA、PD的中点，∴EF∥AD.又∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴BE与CF共面，故①不正确．②∵BE是平面APD的斜线，AF是平面APD内与BE不相交的直线，∴BE与AF不共面，故②正确．③由①知EF∥BC，∴EF∥平面PBC.故③正确．④条件不足，无法判断两平面垂直．答案：②③题组三(理)异面直线及其所成角5.在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是()A．相交直线B．平行直线C.不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线解析：四棱台可看作是由四棱锥截得的，因此DD1与BB1所在直线是相交的．答案：A6．(2010·辽宁模拟)正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EFÔ平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：A7．(2010·淮南模拟)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．解析：取A1C1的中点D1，连结B1D1，由于D是AC的中点，∴B1D1∥BD，∴∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连结AD1，设AB＝a，则AA1＝2a，∴AB1＝3a，B1D1＝32a，AD1＝14a2＋2a2＝32a.∴cos∠AB1D1＝3a2＋34a2－94a22×3a×32a＝12，∴∠AB1D1＝60°.答案：60°8.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点．求异面直线A1E与GF所成角的大小．解：连结B1G，EG，由于E、G分别是DD1和CC1的中点，∴EG綊C1D1，而C1D1綊A1B1，∴EG綊A1B1，∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线所成角，连结B1F，则FG＝3，B1G＝2，B1F＝5，由FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.题组四综合问题9.(理)(文8)(2010·淄博模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()解析：到定点B的距离等于到直线A1B1的距离，所以动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．答案：C9．(文)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心．(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长．解：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交，记交点为Q，连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，∴OQ是α与β的交线．故直线OPQ即为所求作的直线．(2)由Rt△AMQ≌Rt△BMC，得AQ=CB=1，又∵△OPN∽△QPA，ON=12BC=12AQ.∴PN∶PA=1∶2.AP=23AN=53．解Rt△APQ可得PQ=143．10．(理)(2010·大连模拟)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．解：(1)取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，∴AF=3，AE=2，EF=2；cos∠AEF=22314222，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为14．(2)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为12PA=1，VA-EBC=VE-ABC=13×(12×2×2×32)×1=33．