定积分习题

定积分习题课定积分的性质badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数)性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(假设bca性质3则0)(dxxfba)(ba性质5如果在区间],[ba上0)(xf，dxba1dxbaab性质4定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.)]([)(babaxFdxxf也可写成牛顿—莱布尼茨公式直角坐标系下平面图形面积的计算一、平面图形的面积图10bxyxgy)(xfy)(a如图1所示图形的面积可以视作分别以),(xfy)(xgy曲边梯形面积的差。因此为曲边的两个babadxxgdxxfS)()(badxxgxfs)]()([yφx)(yx0dcyψx)(图2且类似地可以得到，由连续曲线),(yx)(yψx)()(yψy与直线dycy,所围成的平面图形（如图2）的面积为dcdyyψyS)]()([31)01(3131)1(103102xdxxxysin00cossin0xxdxs计算下列定积分例:解轴上与在计算正弦曲线xxy],0[sin)2(积所围成的平面图形的面2]0cos)[(cos例所围成的面积。及计算由322xyxy解:画图，求得交点(-1,1)及(3,9)312332)32(dxxxA由公式20)1(dxxex求20)1(dxxex202)2(xxex例解12edxx311求3111111xxxxx因为dxxdxxdxx311131111所以3111)1()1(dxxdxx4)2()2(312112xxxx若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性.说明：例解401xdx求先用换元积分法求不定积分xdx1于是则令,2,,2tdtdxtxtxttdtxdx121Cxx])1ln([2取一个原函数])1ln([2)(xxxF由牛顿—莱布尼兹公式，得)2ln2(2)1ln(214040xxxdx在本例求原函数时用到了不定积分的换元积分法。需消去新变量t，还原为原积分变量x，而后用牛顿—莱布尼兹公式。解注意：例dttdttt)111(21112Cxx])1ln([2依据N—L公式,求定积分是先求被积函数的一个原函数，再求原函数在上、下限处的函数值之差。这种方法遇到用换元积分法求原函数时，需将新变量还原为原来的积分变量，才能求原函数值之差。定积分的换元积分法是省略还原为原积分变量的步骤,而直接用新限来计算定积分的方法。下面用新方法来计算上例：,2,,2tdtdxtxtx即令)3ln2(2)1ln(2121202040ttttdtxdx于是定积分的换元积分法.2,4,0,0txtx时当时当求)0(022adxxaa,cos]),2,0[(sintdtadxttax则令20220022coscoscos2tdtatdtatadxxaa22022024122sin222cos1attadtta例8解，于是时当时当2,00taxtx设函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上存在连续导数，则由,)(,)(vuuvvuvuvuuv得两端从a到b对x求定积分,便得定积分的分部积分公式：bababavduuvudv定积分的分部积分法求10dxex,2,,2tdtdxtxtx则令于是时当时且当,11,00txtx101010102)(22dtetedttedxetttx2)1(222210eeeet与求不定积分类似，在求定积分时也会遇到换元积分法和分部积分法综合应用的情况，要灵活掌握。例10说明：解1、牛顿—莱布尼兹公式2、定积分的换元积分法)()()()(aFbFxFdxxfbaba).()(,],[)(xfxFbaxf上连续在区间其中应用定积分的换元积分法计算定积分时省略了将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意换元同时要换积分限.小结3、定积分的分部积分法bababavduuvudv定积分的分部积分法用于计算被积函数是两类不同类型函数乘积的定积分。并注意先积出来的先代值，可使后面的计算简便。例1求由曲线y=x3与直线x=-1，x=2及x轴所围成的平面图形的面积．解由上述公式得xxAd||213.417dd)(203013xxxxy=x3yx2O-1例2求y=sinx，y=cosx，解由上述公式知2,0xx所围成的平面图形的面积..d|cossin|20xxxAxxxd)cos(sin40xxxd)cos(sin242440]sincos[]sin[cosxxxx).12(2也可以先作出该平面图形的草图，xxxAd)sin(cos40.d)cos(sin24xxx如图，就不必用公式了.则直接可得).12(2y=cosxxOy=sinx4π2π1y)0(1022adxxaa计算例tdtadxtaxcos,sin则设解;0,0tx时当2tax时当dtta2022cos24adtta)cos(202212dxxaa022于是2022122)sin(tta205sincos2xdxx计算例xdxdtxtsin,cos则设解0,2;10txtx时当时当6165011055tdttdttxdxxsincos520于是例13xyx20y1解所围成的图形如图所示：3xy求2,1xx与直线轴所围成的及x平面图形的面积。203013dxxdxxs417例222y,xxy计算与两条抛物线的面积。所围成的图形解所围成的图形如图所示:则2xy2yx110yx先解联立方程组22yxxy线的交点坐标为得两抛物)0,0(),1,1(和则图形的面积为102][dxxxS3110223332xx计算由xy22和4xy所围图形的面积.解).4,8(),2,2(422xyxy有为积分变量以,yxy224xy).(作图422)24(dyyys先求两曲线的交点。.184232642yyy例3注意：此题选取纵坐标为积分变量，而没有选取横坐标为积分变量，请思考这时为什么？若选取横坐标为积分变量能否得到这个问题的结果？yxx例1解.2sin120dxx求20cossindxxx原式2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx.222二、典型例题例2解.cossinsin20dxxxx求,cossinsin20dxxxxI由,cossincos20dxxxxJ设,220dxJI则20cossincossindxxxxxJI20cossin)sin(cosxxxxd.0,22I故得.4I即