定积分在几何上的应用体积、弧长

1.平行截面面积为已知的立体体积二、立体的体积2.旋转体的体积xA(x)xab1.平行截面面积为已知的立体体积()dVAxdx().baVAxdx为积分变量，取x[,][,]abxxdx在上任取一小区间，相应的小片立体的体积微元x+dx()Ax已知平行截面面积为的立体，求其体积.oRxyx一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得有限部分立体的体积.解取坐标系如图，222Ryx过点x作平面垂直于x轴，],[RRx任取截立体的截面为直角三角形.例1底圆方程为体积截面面积2211()tan()tan22AxyyRx，dxxRRRtan)(2122.tan323R()RRVAxdxoRxy思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积是什么?如何用定积分表示体积?),(yx()Ay提示:2||tanxy222tanyRyV02tanR22yRydy.tan323R例2求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解取坐标系如图底圆方程为，222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形截面面积22()||AxhyhRx立体体积dxxRhVRR22.212hRh一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积而成的立体称为旋转体．定直线称为旋转轴．思考:如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，对于该区间上的薄片体积，dxxfdV2)]([xdxxxyo则旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfy体积为体积元素，即为高的扁圆柱体的为底半径、取以dxxf)(dxxfVba2)]([注意：该积分公式的适用条件;1轴是旋转轴、x;)(2轴上在边轴所围成，即图形的一及、、由连续曲线、旋转平面图形是一个xxbxaxxfy，任取],[bax体积为2221[()()].baVfxfxdx轴，作平面垂直于过点xx截旋转体的截面为环面，其面积为2221()[()()]Axfxfx1212()()()())yfxyfxfxfxxaxbabx一般地，由连续曲线，，（0），以及直线，(所围图形绕轴旋转一周所成立体的体积为yr解hPxhryxo直线方程为OP所以圆锥体的体积dxxhrVh2023203hrxh2.13rh例3的直线，直线及点连接坐标原点),(rhPO轴，将它绕轴围成一个直角三角形及xxhx的圆锥体，，高为旋转得到一个底半径为hr计算圆锥体的体积．xayxb例4.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xyd2x方法2利用椭圆参数方程则xyVad20223202sinabtdt22ab32234ab1特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.343a解22(2)1.xyx求由所的形旋一周而成的体的体圆围图绕轴转环积例5221,yx上半的方程圆为221,yx下半的方程圆为11[,]xx取为积分变量，则，11211()81VAxdxxdxx处的截面为圆环面，面积为22222()[2121]81Axxxx（）（）所求的体积为24)(yxcddyxVdc2.)(2dyydc其体积为xyo2()Ayx2()y，y处的截面面积类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积计算如下：dyyVdc2)]([注意：该积分公式的适用条件;1轴、旋转轴为y;)(2轴上边在轴所围成，即图形的一及、、由连续曲线、旋转平面图形是一个yydycyyx24640yxxy求例曲线及、所围图形.yyV绕轴旋转而成的旋转体体积解440(16)16yyVdy540164|80y.525604[,]yy取为积分变量，则，y处的截面为圆环面，面积为4()(16)16yAy例7.计算由摆线一拱与x轴所围的图形绕y轴旋转而成的立体体积.(sin)(1cos)xattyat(02)t解222120()()][yayyxxVdy22212200()()aaydyyxxdy323220(sin)sin(sin)sintttdttttdtaa3220(sin)sintttdta336aoyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx02[,]yya取为积分变量，则，y处的截面为圆环面，面积为2221()[()()]AyxyxydxxdxxxVy4023404225256如果旋转体由曲线)0)(()(xfxfy直线ax、)0(babx及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成，求其体积.(柱壳法)dxxfxdV)(2体积元素2()baVxfxdx2yx4x利用这个公式，可知上例6中sin00yxxxy求、、及所围图形1.y绕直线旋转而成的旋转体体积解22210()Vyydx02)sin2(sindxxx.422222100()(sin1)Vyydxxdx常见错误20[(sin1)1]xdx×截面是环面例8旋转轴不是坐标轴的情形:已知平行截面面面积已知的立体体积()baVAxdx旋转体的体积2()Axy绕x轴:2dVxydx绕y轴:(柱壳法)2()Ayx2()byaVxfxdx2dycVxdy2bxaVydx小结：三、平面曲线的弧长1.平面曲线的弧长的概念直角坐标情形极坐标情形参数方程情形2.平面曲线的弧长的计算公式xoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长，并称此曲线弧是可求长的.⌒1.平面曲线的弧长的概念定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[baxoyabxdxx取积分变量为x，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22()()dsdxdy弧长微元21dsydx弧长.12dxysba2.平面曲线的弧长计算公式(1)曲线方程为直角坐标表示上有一阶连续导数,在],[ba上任取小区间],[dxxx，21dsxydy（）21().dcsxydydx注：上限大于下限曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长22()()()sttdt2.曲线方程为参数表示曲线弧为)(()其中()在],[上具有连续导数.()cos()sinxy)(22)()(dydxds22()(),d弧长22()().sd3.曲线方程为极坐标表示xo()注意：()dsdds例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab例2.解33cos,sin(0)xatyata计算星形线的全长.由对称性，星形线的全长为其在第一象限弧长的4倍.22()3cossin,()3sincos,xtattytatt22()()3sincos,dsxtytdtattdt弧长元素故星形线的全长为2222004()()12sincos6sxtytdtattdta[0,],2tt选为积分变量，例3.计算摆线一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2d222aa例4.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:)0(aaxa2oad)()(22sdd12ad1202as212a21ln2102tan)t(令例5.求连续曲线段解:,0cost22txysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x422x练习计算曲线dnynx0sin的弧长.解nnxny1sin,sinnxdxysn021dxnxn0sin1ntxndtt0sin1dtttttn0222cos2sin22cos2sindtttn02cos2sin.4n,0sin0nx0即.0nx平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分弧长的公式小结22()()dsdxdy作业P258习题5-2计算体积：(A)8(1)(3)(5);(B)4;6.计算弧长：(A)10(1)(3)(5)；11.