定积分概念、性质

定积分的概念微积分基本公式17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。前言4.1定积分概念如图：所围的曲边梯形面积。、、直线表示由曲线定义：0),(ybxaxxfyA一、定积分的引入—曲边梯形面积的求法注：此“面积”一定是以x轴为一边的曲边梯形；yxaAy=f(x)例如：求曲线y=x2、直线x=0、x=1和y=0所围成的面积？如图所示此问题的难点是图形有一边是曲的，如何求它的面积呢？研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长*宽=a*b，那么研究方法是“无限细分，以直代曲”，将曲边图形分划为若干个小矩形，用小矩形面积△Si矩近似代替小曲边梯形面积△Si曲，即:xyy=x21A0niiiSSSS1i矩曲矩曲从而有：，如果右边的和式有极限（n→∞），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：niinSS1lim矩曲.1,1......,,......2,1,01210nnxnnxnixnxnxxnninxi12)()(nixfi如图所示：1）将区间[0,1]n等分。其分点分别为：2）得n个小条形，每个小条形的宽均为高则分别取区间右端点xi(i=1,2,…,n)的函数值3）相乘为第i个小矩形面积：xy0x2x3xn=1xn-1y=x2x0x1矩曲iiSS2)(1)(ninxfxSiii矩4）第i个小曲边梯形面积近似：5）曲边梯形面积S曲近似：2111i1)(1)(SniniiininininxfxSS矩曲曲xy010y=x2x01若取n=10384.06)12)(1(111)(...312312121nnnninnniSSSSSnininiin曲得，上述由6)12)(1(12nnnini容易发现n越大（即区间分得越细）则此面积误差越小，6）直到用极限方法令n→∞，得曲边梯形的精确值：333.0316)12)(1(limlim21nnnSSnniin矩曲总结：求曲边梯形面积的步骤引例1——曲边梯形的面积（演示）1maxiint其中tvv设物体的运动速度引例2——变速直线运动的路程分割区间取近似值作和取极限（1）细分区间12111212[,][,][,][,]nTTTttttTti-1tiiiiiSvt(2)取近似值11()nniiiiiSSvt（3）作和01lim()niiiSvt（4）取极限T1T2vt曲边梯形面积A：变速运动的路程S：01lim()niiiSvtdttvTT21记为01lim()niiiAfxbafxdx记为二、定积分的概念（演示）定积分定义niiiiiiiiiiiniixfxxnixxxxxnbabxxxxxxabaxf11111210)(],[),...2,1(],[],[......],[)(作累积的和式，任取，其中个小区间分成将区间，区间有定义，任取分点在定义：设函数badxxf)(iniinbaxfdxxf)(lim)(1如果当最大的子区间的长度时，此和式有极限，则此极限叫作f(x)在[a，b]上的定积分，记为：即0)max(ix在定积分中316)12)(1(lim3102nnnndxxSnbadxxf)(其中“∫”为积分号（把字母s拉长），a，b为积分下限和上限，即积分变量x的范围：a≤x≤b，又叫积分区间；f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。上例曲边图形的面积用定积分表示注意：据定义有如下说明:(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；(3)规定：abbaaadxxfdxxfdxxf)()(,0)(1.若函数在上连续，fx,abfx,ab2.若函数在上有界，且只有有限个间断点，三、定积分存在的充分条件fx,ab则在上可积。fx,ab则在上可积。有界是函数在区间[a,b]上可积的必要条件。123bafxdxAAA表示曲线与x轴围成的图形面积的代数和。123bafxdxAAA表示曲线与x轴围成的图形面积。四、定积分的几何意义（演示）xfyabA1A2A3)(xfy（1）（2）)(xfy（2）若是奇函数，则()fxaafxdx0aafxdx02afxdx()fx（1）若是偶函数，则a-a五、定积分的几何性质-aa由定积分几何意义可得：补充规定：10aafxdx2baabfxdxfxdxabxx+dx定积分几何意义的应用3(71)181(28)3152142817371(1)3dx41(2)2xdx21932200xy2-33323(3)9xdx20(4)sinxdx把区间1,0分成n等份，每份长1n，各分点是：0120,1,2,,1nxxnxnxnn21011limnniixdxnnninin1231lim31121611lim3nnnnn01limnbiiaifxfxdx120xdx解因为在上连续，所以存在2x[0,1]例用定义求定积分dxx102=规定：10aafxdx2baabfxdxfxdxabxx+dx六、定积分的基本性质无论a,b,c的相对位置如何，（3）式均成立。3bcbaacfxdxfxdxfxdxcaabcbdxxfdxxfdxxfbcbaacfxdxfxdxfxdx1bbbaaafxgxdxfxdxgxdx2bbaakfxdxkfxdx可推广至有限个函数的代数和的情形。bca···acb···◆定积分的基本性质41badxba..则有ba],[bax)()(xgxf推论1设，对任意babadxxgdxxf)()(],[bax（5）对任意)≥0，则有(xfbaxf0)()()()()(,)(2xfxfxfbadxxfdxxfbaba因）（：推论.)()()(abMdxxfabmba性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最小值m，于是，由性质5有.几何意义也很明显babaabfdxxfbabaxf)(),)(()(],[],[)(7使得则至少存在一点上连续，在若函数（积分中值定理）：性质baMdxfabmab)x1,6（得的不等式同除证明：将性质再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得如果变速直线运动物体的运动方程是S=S(t)，则在时间段[T1,T2]内所发生的位移变化为S(T2)-S(T1)如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知21TTSvtdt2121()TTSsTsTvtdtFbFa连续函数在区间上的定积分等于它的一个fx,ab原函数在积分区间上的增量Fx◆微积分基本公式stvt而？微积分基本公式（一）——变上限的积分定理xaxadttfxxxfdttfxaxfbaxbaxf)()()()()(],[)(],,[],[)(即：记作的变上限的定积分，为也可积，称上在上可积，则对在定义：设函数形面积，如图邻边可以变动的曲边梯表示为右侧时，变上限的定积分几何意义：当)(0)(xxf)(xfaxb)(x)()()()(],[)()(],[)(1bxaxfdttfdxdxxbadttfxbaxfxaxa的可导函数，且区间上关于是分上连续，则变动上限积在区间若函数定理证明思路参见书例1]cos[12xtdtdxd求]cos[22xxtdtdxd求]coscos[02022xxtdttdtdxd原式]cos[12xtdtdxd解：原式]cos[12xtdtdxdx2cos例2解：用分点0插分区间[x,-2x]]coscos[02022xxtdttdtdxdtdtdxdxx2202coscos)2().cos(cos202xuutdtdudxxuxxxx2cos2cos).2)(2(coscos2222例34030sinlimxdttxx求极限型，由罗必达法则解：此极限为00414sinlim330xxx原式例4的极值。求xtdtetxf02.)(,.)(2xexxf解：0,0)(xxf得唯一驻点令01)21()(0202xxxexxf令0)0(0fxxf处取得极小值）在（设在区间上连续，是它的任意一个原函数，fx,abFx则有bafxdxFbFaxaFxfxdxCbaFbfxdxCaaFafxdxCCbafxdxFbFa微积分基本公式（二）——牛顿—莱布尼兹公式证明思路()baFx记作1201xdx例2求下列定积分1231001()3xdxx13解因为在上连续，是它的一个原函数2yx[0,1]313yx所以211dxx）（变：333)(,1,1)(,1,1)(,2,0xxfbaxxfbaxxfbadxxfba）（计算定积分02sinxdx4cos20x20coscosxx2200sinsinsinxdxxdxxdx或11114204sinxdx解原式几何意义dxxdxx3220223222022222xxxx25262902dxx302dxx30225解原式几何意义11221122523202xdx402cosxdx402sin2x2071sin2xdx2012sincosxxdx220sincosxxdx20sincosxxdx20cossin01102xx解原式解原式合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。44cos6xdx）（22112xdx解122310126xx设21,11,12xxfxxx20fxdx，求8181822663分段函数的积分计算，应分区间选取相应的函数函数在x=1处间断20fxdx101xdxexit引例曲边梯形的面积exit定积分的定义exit定积分的几何意义exit估值定理exit积分中值定理牛顿-莱布尼兹公式返回若是奇函数，则()fxaafxdx0aafxdx02afxdx()fx若是偶函数，则a-a◆定积分的几何意义是偶函数，是奇函数。cosyx2sin1tanxyx-aa偶函数奇函数广义积分