定积分概念、第一换元

定积分的概念abxyo?A原型（求曲边梯形的面积）一、抽象定积分概念现实原型)(xfy曲边梯形由连续曲线轴与两直线,所围成.()(()0),yfxfxxxaxb考察下列图形由哪些曲边围成.A2022xy00yAsinyx0x面积怎么求？元素法2xππxπ2y0x利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.将曲边梯形的底，即[a,b]进行分割(用垂直于x轴的直线).第一步分割；曲边梯形的面积的解决思路：abxyo)(xfyix1x1ix1nx2x记1.iiixxx取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.第二步取近似；abxyo)(xfy用矩形面积近似小曲边梯形面积()if高底ix1x1ix1nx2xix典型小区域面积iSi().iiiSfxabxyo)(xfyix1x1ix1nx2x第三步求和；i矩形面积和与曲边梯形面积不相等有误差121nn11().nniiiiiSfx将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.第四步取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.abxyo)(xfy0,1,2,,ixinmax{}0ix11()nniiiiiASfx112233()()()(),nnfxfxfxfxiniixfA)(lim101122330lim[()()()()].nnfxfxfxfx曲边梯形面积的近似值为:曲边梯形面积为当即小区间的最大长度趋近于零时分割无限加细12,max{,,,}(0),nxxx设是定义在区间上的有界函数用点将区间任意分割成个子区间这些子区间及其长度均记作在每一子区间上任取一点作个乘积的和式012111()[,],...[,][,](1,2,...),(1,2,...,).,()nniiiiiiiiifxabaxxxxxbabnxxixxxinxnfx二、定积分的定义1().niiifx定义以直代曲求和被积函数被积表达式[,]ab为积分区间积分上限积分下限如果当同时最大子区间的长度时和式并且其极限值与的分割法以及的取法无关则该极限值称为函数区间在上的定积分记作的极限存在1,max{}0,,[,],[,]()(,:)niiiiifxfxnxabab1(0)()lim()nbiianifxxfxd积分变量积分和()fxx取极限即注意：()baxfxd()bafttd()bafuud(2).i在定义中区间的分法和的取法是任意的(1),.积分值仅与被积函数及积分区间有关而与积分变量的字母无关(3)()[,],()[,]fxabfxab当函数在区间上的定积分存在时称在区间上可积.xtuxtu,0)(xf()bafxxAd曲边梯形的面积,0)(xfd()bafxxA曲边梯形的面积的负值1234()bafxxAAAAd定积分的几何意义3A4A2A1AabyxO几何意义(),;xfxxaxbxx它是介于轴、函数的图形及两条直线之间的各部分面积的代数和．在轴上方的面积取正号在轴下方的面积取负号．__abyxO例1利用定积分的几何意义计算下列积分dd11200.(1);(2)1.xxxx解d，10(1)xx表示由及轴围成的三角形面积.0,1,xxyxx100x1x0yAyxd10xx11121.2d120(2)1,xx表示由及轴围成的圆面积.20,1,114xxyxx100x1x0yd1201xx1.4yxA2114π定理()[,],,()[,()()].,bbaafxabkkfxkffaxbxxkx若在上可积为常数则在上dd也可积且三、定积分的性质定理()[,],()()[,],(()())()().bbbaaafxgxxfxabfxgfbxxgxxxa若在上可积则在上也可积且ddd补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,定理（积分区间的可加性）ddd323002()()(),fxxfxxfxxddd363006()()(),fxxfxxfxx有界函数在上都可积的充要条件是在上也可积且ddd()[,],[,]()[,]()()(),.bcbaacfxxfxxffxaccbfxaxxb2660320632abcSacScbSabdd1.bbaaxxba定理d203xπd2033.2xππ对定积分的补充规定:(1),()0.baabfxx当时令d(2)(),()().abbaababfxxfxxfxx当且d存在时则dd定理（保序性）推论（保号性）()()()()[,],(),[,],().bbaafxgxabgxfxgxxfxxbxa设与为定义在上dd的两个可积函数若则()0,[,](,)0.bafxxfxxabd若则ab()gx()fx定理（有界性）ab()fx,()[,()()()].()[,],bamMfxabfxmbafxxMbaab设分别是在上的最小值和最大值若在上可积则d.例2解利用定积分的有界性估计下列定积分的值dd4201.(1)sin;(2)(1).xxxxπd，0(1)sinxxπ0sin1,[0,],xxπd0sinxxπ0π1,πd0sinxxπ0π.0Asinyxπ0y1yd421(2)(1),xx21yx4122117,[1,4],xxd421(1)xx2(41)17(41),d4216(1)51.xx2y17y定理（绝对值不等式）()[,],()[,()]().,bbaafxabfxabfxxfxx若在上可积则在上也可积且dd4321)(AAAAdxxfba1234()bafxdxAAAA()()()fxfxfx用保序性证得abyxO1A2A3A4A()[,],[,]()()().,bafxababfxxfba若函数在上连续则在上至少存在一点使得d=abxoy定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释[,],[,],()().ababyfxf在区间上至少存在一点使得以区间为底边以曲线为曲边的梯形面积等于同一底边而以为高的一个矩形面积)(f定积分的计算定积分计算如何计算定积分？定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.d()baftt01lim()niiifx根据几何意义，图不好画定理牛顿-莱布尼茨公式()[,],()()[,()((.])),bafxabFxfxabfxxFbFa设在上连续若是在上的一个原函数则d微积分基本定理()bafxxd微积分基本公式表明：()baFx求定积分问题转化为求原函数的问题[,][,].abab一个连续函数在区间上的定积分等于它的任意一个原函数在区间上的增量()().FbFa()()().baabfxxFFba当时，d仍成立例1求解1.提示与分析：20sin.xxdπ20sinxxdπcoscos02ππ20先看成不定积分问题，求出原函数.dsincosxxxCcosxd()()bbaafxxFxlnbaxlnln.ba例21ln,xxCxd1baxxd例如d311xx1ln.xx是的原函数31lnxln3ln1ln3.()yfx()()dydfxyfxdxdx()()dfxfxdxdyydx问题40cos2xdx40sin2x解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令从到从到2,0,0.42uxxu1,2dxdudu2udxdx第一换元法40cos2xdx201cos2udu201sin2u2012cosduu1.2考虑2402cos().xxx求定积分d能用直接积分法吗？不行到底该令哪个式子为u对于不定积分d如果无法直接计算而被积函数可以分为两个部分(),,:()[()]()fxxfxgxx()ux()fx[()]()gxx那么dxdxd()guu如果d可以求出原不定积分就解决了这就是第一换元法凑微分法也称(),.,.guu()()fxxfxddd()x第一换元法求定积分的步骤：()(),(),().xxxuxxufuu凑微分dd并作变量代换把关于的定积分转化成关于的定积分第d二步：关键()(),()fxxx把被积函数分解成两部分因式相乘的形式，一部分是的函数另一部分第一步：是的导数；一定要换积分上、下限第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式:d(1)()faxbxd()axba1d1(2)()nnfxxxd()nxn1d(3)(sin)cosfxxxd(sin)xd(4)(cos)sinfxxxd(cos)x()nfx()faxb(sin)fx(cos)fxeed(5)()xxfxde()xe()xfd1(6)(ln)fxxxd(ln)x(ln)fxd3sincosxxx414uC1.4C3sincos.xxx例3求d解3sinxsinuxdd3snnsiixx()gusinuxusinxu34sinxｅ原式d211(1)1xxｅ1lntln1lnｅ1.21.1xxｅd解例4计算1txｅd11tt说明:使用第一换元法的关键在于将()fxdx化为[()]().fxxdx观察重点不同，所得结论形式不同.例5计算解一20sincos.tttdπ提示与分析：用凑微分法求解.1.220sincostttdπ221[sinsin0]22π220(sin)2tπ20sin(sin)ttdπuu解二1.220sincostttdπ221[coscos0]22π220(cos)2tπd20cos(cos)ttπ解三20sincosxxdx201sin22xdx01cos4u201si242nxdxuu01sin4duu12