定积分概念与性质(精)

第五章定积分定积分概念与性质微积分基本公式定积分计算反常积分定积分第三节定积分的换元法和分部积分法定理：注意：应用公式（*）时，换元必换限。）（则有越出值域不上具有连续导数，且其，或，在满足条件：上连续，在区间如果*)()]([)(],,[][][)()2(;)(,)()1()(],[)(dtttfdxxfbatbatxbaxfba一、定积分的换元法证明：)()()(aFbFdxxfba设F(x)是f(x)的一个原函数，则)],([)(tFt又令由复合函数求导法，得)()(txfdtdxdxdFt)()())((ttf）（）（即dtttf)()]([)]([)]([FF)()(aFbFdtttfdxxfba)()]([)(此即例1计算下列定积分dxxxdttedxxxdxxt053102102241sinsin)4()3(1)2(11)1(2解dtttdxxtxtdtdx212411211)1(2022cossintdttdtt21)111(2.32ln22)1ln(222121tt202sincos1022coscossin1)2(tdtttdxxxtxtdtdx16)44sin(8124cos1412sin412020202ttdtttdt1022)3(dttet解dxxx053sinsin)4(21102102210212222eetdedttettt或21210210212eedueuututdtdudxxx023cossindxxxdxxx2232023cossincossin54sin52sin52sinsinsinsin22520252232023xxxdxxdx例2证明02200202010100cos1sin,)(sin2)(sin.)(cos)(sin.]1,0[)()4()1()1()3()()()2()(0)(,)(2)(],[)()1(dxxxxdxxfdxxxfbdxxfdxxfaxfdxxxdxxxdxxbafdxxfxfxfdxxfdxxfaaxfmnnmbabaaaa由此计算上连续，则有在若为奇函数当，为偶函数当上连续，则在若证明aaaadxxfdxxfdxxf00)()()()1(00)()(atxadttfdxxf令而adttf0)(adxxf0)(为奇函数当，为偶函数当)(0)(,)(20xfxfdxxfaaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(即证明abtxbabadttfdxxbaf)()()2(令右边左边badxxf)(01110)1()1()3(dtttdxxxnmtxnm令左边1010)1()1(dtxxdtttnmnm右边证明则设,2.txa0220)]2[sin()(sindttfdxxf2020)(cos)(cosdxxfdttf0)(sin)(dttft则令,.txb200)(sin2)(sindxxfdxxxf即00)(sin)(sindtttfdttf00)][sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)(sindxxxfdxxf利用上述结果，即得0202cos1sin2cos1sindxxxdxxxx02cos1)(cos2xxd0)arctan(cos2x)44(224例3.)2(01cos110,)(412dxxfxxxxexfx计算，设函数解.212121tan212tancos1)()2(4200120012141222eetdttetdtdttfdxxftttxdtdx练习dxxdxxdxxxdxxxnn20022311sin2sincoscos)2(451证明）计算（答案34)2(611）（)(2020tx且令提示：定理babababababavduuvudvdxuvuvdxvuxvxubaxvxu或则有，、上具有连续导数在区间、设)()(],[)()(二、定积分的分部积分法例1102100)3(arcsin)2(cos)1(dxedxxxdxxx计算解2cossinsinsin)1(0000xxdxxxxxd原式2222222)3(10101010102ttttttxtdtdxeedtetetdedtte原式解12312)1(12)1(11216211arcsin)2(210212210222102210xxdxdxxxxx原式例2.)2(,5)2(,3)2(,1)0(10dxxfxfff试计算已知解.2)(41)2(21)(41)(41)(41)(41)2(202020202010221tffdttftfttftddttftdxxfxtxdtdx例3证明的奇数为大于为正偶数1,3254231,22143231sin20nnnnnnnnnnxdxInn证nnnnnnnnInIndxxxnxdxxnxxxxdxdxI)1()1()sin1(sin)1(cossin)1(sincos)cos(sinsin22022202220120120(*)12nnInnI故有但）递推得由（.1sin,232547612221222143652232212*20120011202xdxIdxIImmmmIImmmmImm的奇数为大于为正偶数1,3254231,22143231sin20nnnnnnnnnnxdxInn练习dxxxdxxx0241)sin()2(ln1）计算（答案46)2()12ln2(412）（