定积分概念与性质_图文.

第6章定积分§6.1定积分概念与性质§6.2微积分基本公式§6.3定积分的换元积分法和分部积分法§6.4定积分的应用§6.5反常积分初步目录上一页目录下一页退出§6.1定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积.上一页目录下一页退出设()fx在区间,ab上非负、连续．由曲线()yfx及直线,,0xaxby所围成的图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边梯形的面积．上一页目录下一页退出图6-1在区间,ab内任意插入1n个分点0121;nnaxxxxxb，这样整个曲边梯形就相应地被直线(1,2,,1)ixxin上一页目录下一页退出分成n个小曲边梯形，区间被分成011211,,,,,,,,,iinnxxxxxxxx个小区间的长这时它的面积可以用小矩形的面积来近似．在每个小1,iixx上任取一点i,用()if作为第i形的高(图6-1)，则第i个小曲边梯形面积的近似值为()iiiAfx,第in小区间度1(1,2,,)iiixxxin．对于第i个小曲边梯形来说，当其底边长ix足够小时，其高度的变化也是非常小的，区间个小矩ba,上一页目录下一页退出个小曲边梯形的面积相加，得到整个曲边梯形面积的近似值11().nniiiiiAAfx从直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲边梯形的面积就会越接近，因而和式1()niiifx与曲边梯形的面积也会越接近，记1maxiinx,当时,和式01()niiifx的极限即为曲边梯形的面积，即01lim().niiiAfx．n这样，将上一页目录下一页退出2变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度()vvt是时间间隔12,TT的连续函数，且t上()0vt，计算在这段时间内物体所经过的路程.s对于匀速直线运动，有公式：路程＝速度×时间．但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化着的变量，因此所求路程s()vvt是连续变化的，在很短的时间内，速度的变化很小．因此如果把时间间隔分小，在小段时间不能直接按匀速直线.上一页目录下一页退出以匀速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部分路程的近似值；再求和得到整个路程的近值．最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物体在时间间隔12,TT描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，具体描述为：在区间内任意插入个分点12,TT1n101212,nnTtttttT，把区间12,TT分成n个小区间01121,,,,,,,nntttttt内的路程．对于这一问题的数学.上一页目录下一页退出各小区间的长度依次为12,,,,nttt在时间间隔1,iitt上的路程的近似值为(),(1,2,,),iiisvtin其中i为区间1,iitt上的任意一点．整个时间段12,TT上路程s的近似值为11().nniiiiissvt上一页目录下一页退出记1maxiint,当0时，和式1()niiivt的极限即为物体在时间间隔12,TT内所走过的路程．即01lim().niiisvt二、定积分的定义上面的两个例子面积01lim()niiiAfx路程01lim()niiisvt.上一页目录下一页退出抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本定义1设函数()fx在区间,ab上有界，在中任意插,ab入1n个分点0121,nnaxxxxxb分成把区间,abn个小区间01121,,,,,,,nnxxxxxx各小区间的长度依次为质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念．..上一页目录下一页退出1102211,,,nnnxxxxxxxxx在每个小区间1,iixx上任取一点i，作乘积()(1,2,,)iifxin，再作和式1().niiiSfx（6-1）记12max,,,nxxx,如果不论对,ab怎样分法，也不论在小区间1,iixx上点i怎样取法，只要当.上一页目录下一页退出0时，和s总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数()fx在区间,ab上的定积分(简称积分)，记作()dbafxx,即0()dlim(),biiafxxfxI(6-2)其中()fx叫做被积函数，()dfxx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，,ab叫做积分区间．上一页目录下一页退出注当和式1()niiifx的极限存在时，其极限值仅与被积函数()fx及积分区间,ab有关，而与积分变量所用的字母无关，即()d()d()d.bbbaaafxxfttfuu如果()fx在,ab上的定积分存在，我们就说()fx在,ab上可积．相应的和式1()niiifx也称为积分和．.上一页目录下一页退出对于定积分，有这样一个重要问题：函数()fx在,ab上满足怎样的条件，上一定可积?()fx在,ab定理1设在区间()fx,ab上连续，则上可积．()fx在,ab定理2设()fx在区间,ab上有界，且只有有限个间断点，则()fx在,ab上可积．利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下：.上一页目录下一页退出曲线()(()0)yfxfxx与轴及两条直线,xaxb所围成的曲边梯形的面积A等于函数()fx在区间,ab上的定积分．即()d.baAfxx物体以变速()(()0)vvtvt作直线运动，从时刻1tT到时刻2tT，物体经过的路程s等于函数()vt在区间12,TT上的定积分，即12()d.TTsvtt..上一页目录下一页退出三、定积分的几何意义在区间,ab上()0fx时，我们已经知道，定积分()dbafxx在几何上表示曲线()yfx及两条直线,xaxb与x轴所围成的曲边梯形的面积；在,ab上()0fx时，由曲线()yfx及两条直线,xaxb与轴所围成的曲边梯形位于xx轴的下方，定积分()dbafxx在几何上表示上述曲边.上一页目录下一页退出梯形面积的负值；在上,ab()fx既取得正值又取得负值时，函数()fx的图形某些部分在x轴上方，而其他部分在x轴的下方(图6-2)．如果我们对面积赋以正负号，在轴上方的图形面积赋以正号，在xx轴下方的图形面积赋以负号，此时定积分()dbafxx表示介于x轴、函数()fx的图形及两条直线,xaxb之间的各部分面积的代数和．图（6-2）..上一页目录下一页退出四、定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，先对定积分作以下两点补充规定：(1)当ab时，()d0;bafxx(2)当ab时，()d()d.baabfxxfxx在下面的讨论中，积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的．..上一页目录下一页退出性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即[()()]d()d()d.bbbaaafxgxxfxxgxx性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即()d()dbbaakfxxkfxx(是常数)．k性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设acb，则()d()d()d.bcbaacfxxfxxfxx.上一页目录下一页退出按定积分的补充规定，不论的相对位置如何，总有等式()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx成立．例如，当abc时，由于于是得()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx()d()d()dbccaabfxxfxxfxx()d()d.cbacfxxfxx.上一页目录下一页退出性质4如果在区间,ab上,()1fx，则1dd.bbaaxxba性质5如果在区间,ab上，()0fx，则()d0bafxx().ab推论1如果在区间上，,ab()()fxgx,则()d()dbbaafxxgxx().ab.上一页目录下一页退出推论2()d()dbbaafxxfxx()ab证因为()()(),fxfxfx所以由推论1及性质2可得()d()d()d,bbbaaafxxfxxfxx即()d()d.bbaafxxfxx.上一页目录下一页退出性质6设M及m分别是函数()fx在区间,ab上的最大值及最小值，则()()d()bambafxxMba()ab证因为()mfxM,所以由性质5及推论1得d()dd.bbbaaamxfxxMx再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式．上一页目录下一页退出例1估计定积分221d+1xxx的值．解因2+1xfxx在1,2连续，所以在上可积，1,2又因为2221()0(+1)xfxx(12),x所以()fx上单调减少，从而有在1,221(),52fx于是由性质6有2121()d.52fxx上一页目录下一页退出性质7(定积分中值定理)如果函数()fx在闭区间,ab上连续，则在积分区间,ab上至少存在一点，使下式成立：()d()()bafxxfba().ab这个公式叫做积分中值公式．证由性质6得1()dbamfxxMba上一页目录下一页退出这表明，确定的数值1()dbafxxba介于函数()fx的最小值m及最大值M之间．根据闭区间上连续函数的介值定理，在,ab上至少存在一点，使得函数()fx在点处的值与这个确定的数值相等，即应有1()d()bafxxfba().ab两端各乘以ba，即得所要证的等式．上一页目录下一页退出图6-3积分中值公式有如下的几何解释：在区间,ab上至少存在一点，使得以区间,ab为底边、以曲线()yfx为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为()f个矩形的面积(图6-3)．的一上一页目录下一页退出显然，积分中值公式()d()()bafxxfba（在a与b之间）不论ab或ab都是成立的.1()()dbaffxxba称为函数在区间,ab上的平均值．