定积分求面积

1§4定积分的应用一.微元法二.几何应用TheApplicationofDefiniteIntegrals2用定积分解决实际问题，应先明确两个问题：第一，定积分能解决哪类问题？(共性)第二，用定积分解决这类问题方法的关键是什么？3一、微元法第一个问题：用定积分所解决问题的共性：2.这个在[a,b]上分布的整体量等于其所有1.都是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量，如：面积、体积、曲线弧长；作功、引力、总成本、总利润等等；4子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：)()()(aFbFdxxfba)(1],[1xFnkxxkk)()()(kkkxoxxFxF因)()(xFddxxfbabaxdFdxxf)()(亦即)(1xFnkk记作设F(x)可微5第二个问题：用定积分解决问题的关键——在找出整体量的微元：).(xFd微元法解决问题的步骤1.写出实际问题整体改变量的微元表达式：))()(()()(xFxfdxxfxFd通常2.用定积分求出整体改变量：.)()()()(babadxxfxdFaFbF6二、定积分的几何应用1.平面图形的面积（Area）用微元法求面积dxxgxfAd)()(baAdAbadxxgxf)()(7例1求由和xy21xy82所围图形的面积.(如图)思考:求面积前需要做那些准备工作?841dA2dA8解从图中可以明显看出所求面积分为两部,21RR和两块面积的微元分别为：分:dxxgxfdA)()(1dxxgxfdA)()(2dxxx)]8(21[dxxx)]8(8[98482dxx84232)8(3241xx3128163164dxxxA]821[484823)8(322x80343610用微元法求面积dyygyfAd)()(dcAdAdcdyygyf)()(dA求面积前需要做的准备工作有:11(1)最好能作出草图,弄清边界曲线的方程;(2)根据所选方法确定积分变量及总量微元;(3)确定积分区间,为此常需要求出边界曲线交点的坐标.(如图)12例2再求由和xy21xy82所围图形的面积.(如图)42)0,8(13解dxygyfdA)()(dyyyA]28[2424223318yyy163643243816dyyy]2)8[(236那种方法好？14-1-0.50.51-1-0.50.51ydxtytx33sincos例3求星形线所围面积，它的参数方程为：)20(sincos33ttytx)1(3232yx直角坐标方程解由对称性只需求出(1/4)面积即可。ydxdA)cos(sin33tdt104ydxA0233cossin4tdt0223)sin(cos3sin4tdttt2024)sin1(sin12tdtt224613524131283例4用微元法推导由极坐标给出的曲线C：)()(rr)0(),cos1(aar线用微元法先推导—极坐标系下求面积的表达式ord)(rdA)(rrd所围的面积,并求心脏所围图形的面积.17)()(21半径弧长dA)(])([21rdrdrdAA)(212解心脏线的对称性是明显的，因此1234-2-112)cos1(2y18drA)(21202da022)cos1(da0222)2cos2(tdta2/042cos242/t令2223224138aa例5求双纽线：2sin42所围封闭图形的面积。19解(当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过分析求出面积？)drdAA)(212分析使用公式：解这个问题的难点在确定积分限。,02sin42,2X对于,又是周期函数注意到每两个零点曲线封闭一次.变化过程中，20，或32220，或2320由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重对称，因为即又关于)4(xy复出现在第一、三象限,且图形关于原点对称，故有进而得21面积，就得到上积分至因此只要在41,40dA240214全面积402sin42d)4(2sin,2cos)22sin(042cos4见图422-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.50.511.52sin42作业P.216-习题3.4(A)-N.1(单数除去(7))