定积分的几何应用(体积))

一、旋转体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积三、小结定积分的几何应用---体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfyaaoyx例1求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积332222333302aaaVaxdxaxdx.105323a星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为内摆线)星形线Oyxt222333(0)xyaa或类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcVaπ2xyO例2.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为xyVaxdππ202利用对称性π022)cos1(π2tattad)cos1(ttad)cos1(π2π033ttad2sinπ16π063uuadsinπ322π0633π32a6543212π32π5aaπy)2(tu令xyadπ2π02xyOaπ2aπ绕y轴旋转而成的体积为a222)sin(πttattadsinπ2π22)sin(πttattadsin0π注意上下限!π2023dsin)sin(πtttta)(1yxx)(2yxx注:分部积分π202dsin)sin(ttttπ20322d)sinsin2sin(ttttttπ)(tu令ππuuusin)ππ2(22uu2sinπ)(2uudsin3(利用“偶倍奇零”)π0dsinπ4uuuπ02dsinπ4uu2π4uudsinπ82π022π21π8π422202sinudu利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|22020)]sin([)cos1()sin(2ttadtatta2023)cos1)(sin(2dtttta.633a补充1.dxxfxVbay|)(|2(0)ab(※)——柱壳法如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为偶函数π2043d2sin)sin(π8tttta2tu令π043dsin)2sin2(π16uuuua2πuv令vvvvadcos)2sinπ2(π16432π2π奇函数注：2023)cos1)(sin(2dtttta例3求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.解(一)取积分变量为y,]4,0[y体积元素为dyQMPMdV][22dyyy])43()43([22,412dyydyyV40412.643dyPQM（二）利用坐标平移：3xuyv24(3)=0uovvuvv在坐标系下旋转体即为即抛物线与所围成的图形绕轴旋转所得。1252[4(3)]Vuudu2222(3)(4)xxdx3ux令2222(3)(4)xxdx（※）3Puv补充2.2()|()|baVmxfxdx(0)ab(※)——柱壳法如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x=m(b)旋转一周而成的立体，体积为xoab二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RRxyo解:取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323RORx(,)xyyR思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?)(yA提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22三、旋转体的侧面积(补充)设平面光滑曲线求sySdπ2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(π22它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:xxyO)(xfyab222=+[()()]()()()[()()()]=2()1+()+()1+()=2()1+()SfxfxxdsfxxfxdfxSfxfxdfxdsfxfxdxfxdxfxdxdSfxfxdx圆台测面积（上底半径下底半径）斜高由微分近似公式有：扬弃高阶无穷小后，得：注：(0)dxxyO()yfxabsySdπ2d侧面积元素xydπ2dsdx若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的)(π2ttttd)()(22S注意:侧面积为xydπ2原因是的线性主部.不是薄片侧面积△S旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y绕垂直于坐标轴的直线旋转一周旋转体的侧面积(补充)四、小结.解：xyo14yxy交点),1,4(立体体积dyxVy12dyy1216116y.161y1.求曲线4xy，1y，0x所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.思考与练习.2.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:xtxxd利用柱壳法xxfxttVtd)()(π2)(0xxfttd)(π20xxfxtd)(π20xxftVtd)(π2)(0)(π2tft)(π2tft)(π2)(tftV故)(xfxOy3.设平面图形A由xyx222与xy所确定,求图形A绕直线x2旋转一周所得旋转体的体积.提示：选x为积分变量.由柱壳法旋转体的体积为V102d)2)(2(π2xxxxxπ32π21221Oyx1若选y为积分变量,则V1022d)11(2πyy102d)2(πyyxyxy4.求曲线132xy与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(1994考研)解:利用对称性,y10x,22x21x,42x故旋转体体积为V22π32xxd)]2(3[π21022xxd)1(π2π361022xxd)1(π22122xxd)1(π22022π15448在第一象限xxd)]4(3[π22122xyO3ABC21