分数指数幂习题

第二章基本初等函数(Ⅰ)第二章第3课时分数指数幂习题课温故知新1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果xn＝a，那么x叫做a的次方根，其中n1，且n∈N*.n(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，a的n次方根表示为na，a∈R.②当n是偶数时，a的n次方根表示为±na，a∈．(3)根式式子na叫做根式，这里n叫做，a叫做．[0，＋∞)根指数被开方数2．根式的性质(1)n0＝(n∈N*，且n1)；(2)(na)n＝(n∈N*，且n1)；(3)nan＝(n为大于1的奇数)；(4)nan＝＝a≥0a0(n为大于1的偶数)．0aa|a|a－a3．实数指数幂的运算法则(m，n∈R，a0，b0)．am·an＝；aman＝；(am)n＝；(ab)m＝；am＋nam－namnambm4．计算(1)－52＝；(2)(－52)2＝；(3)(a－2)2＋2－a2＋32－a3＝.255a－2(6)依据上述定义可计算下列问题：①1634＝②49－12＝③13－2＝④81625－34＝.8179125273．分数指数幂与根式可以互化，若a0，则3aa用分数指数幂表示为，a－32用根式表示为.(a·a12)131a3思路方法技巧[例1]用分数指数幂表示下列各式(a0，b0)：(1)3a·4a；(2)aaa；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.[分析]解决本题的关键是理解分数指数寓的意义，先将根式化为分数指数幂的形式，再运用分数指数幂的运算性质进行化简．根式与分数指数幂的互化1[解析]规律总结：在将根式化分数指数幂的形式时，关键是分清指数中分子、分母的位置．[解析](1)a23＝3a2.学法指导：既含有分数指数幂，又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于运算，如果根式中根指数不同，也应化为分数指数幂的形式，但最后结果还应以根式为最终形式．根式运算2[分析]既含有分数指数幂，又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于运算，如果根式中根指数不同，也应化为分数指数幂的形式，但最后结果还应以根式为最终形式．[解析]规律总结：根式的运算一般化为分数指数幂的形式，由分数指数幂运算公式化简求值．化简下列各式：(1)23×31.5×612.(2)(a12·3b2)－3÷b－4a－2；[解析]建模应用引路学法指导：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．但化简的结果，形式上要统一，不能既含根号，又含分数指数幂．分数指数幂的运算7[分析]所给算式中，指数有正、有负、有分数、有小数，需先将负数化为正数、小数化为分数，再利用指数幂的运算性质求解．[解析](1)原式＝(259)12＋10.12＋(6427)－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.[解析]进行分数指数幂的综合运算，要注意先算乘方、开方，再算乘除，最后进行加减运算．[规律总结]进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活应用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运算．同时还要注意运算顺序问题．探索延拓创新学法指导：(1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过a12＋a－12＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．有条件的求值问题4[分析]解答本题可从整体上寻求各式与条件a12＋a－12的联系，进而整体代入求值．[解析](1)将a12＋a－12＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.已知x＋y＝12，xy＝9，且xy，求的值．[解析]①又∵x＋y＝12，xy＝9，②∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.∵xy，∴x－y＝－63③，名师辩误做答1．利用有理数指数幂的运算性质进行运算时，忽略了底数需大于0[例5]计算：[(－2)－2]－12.[错解][(－2)－2]－12＝(－2)(－2)×(－12)＝－2.[思路分析]在应用有理数指数幂的运算性质进行运算时，一定要注意底数必须大于0的数．[正解][(－2)－2]－12＝(12)－12＝2.2．利用有理数指数幂的运算性质进行运算时，忽略了底数需相同[例6]化简：3a·6－a.[错因分析]该解法中在利用有理数指数幂的运算性质进行运算时，忽视了底数必须相同的条件．[思路分析]很显然6－a有意义，则－a≥0，即a≤0，所以在进行偶次方根的化简时，要特别注意被开方数的符号．[正解]