【非常学案】2014-2015学年高中数学 2.3.2 第2课时 等比数列前n项和及应用课件 新人教

教学教法分析课前自主导学当堂双基达标思想方法技巧课堂互动探究课后知能检测教师备课资源第2课时等比数列前n项和的性质及应用●三维目标1．知识与技能掌握等比数列前n项和公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．2．过程与方法通过对公式运用的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．3．情感、态度与价值观通过对公式运用的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．●重点难点重点：等比数列前n项和及性质的应用．难点：等比数列前n项和及性质的灵活应用．课标解读1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2.能用递推公式求通项公式．(难点)3.掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)等比数列前n项和的性质【问题导思】在等差数列{an}中，我们知道其前n项和Sn满足这样的性质，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列；等比数列的前n项和Sn是否也满足这一性质呢？试证明之．【提示】满足．证明∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Smqm.同理S3m－S2m＝Smq2m，…，在Sm≠0时，有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，，…成等比数列，其公比是.S3n－S2nqn等比数列前n项和的性质及应用(1)已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．【思路探究】(1)列出关于a1，q的方程组能求解吗？S10，S20－S10，S30－S20是否成等比数列？用这一性质能解决吗？(2)“奇数项之和”、“偶数项之和”的含义是什么？你能使用等比数列前n项和的性质求解吗？【自主解答】(1)法一设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则a11－q101－q＝10，a11－q201－q＝30.两式相除得1＋q10＝3，∴q10＝2.∴S30＝a11－q301－q＝a11－q101－q(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又∵S10＝10，S20＝30，∴S30－30＝30－10210，即S30＝70.(2)法一设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*)．由已知a1＝1，q≠1，有1－q2n1－q2＝85，①q1－q2n1－q2＝170.②由②÷①，得q＝2，∴1－4n1－4＝85,4n＝256，∴n＝4.故公比为2，项数为8.法二∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，∴q＝S偶S奇＝17085＝2.又Sn＝85＋170＝255，据Sn＝a11－qn1－q，得1－2n1－2＝255，∴2n＝256，∴n＝8.故公比q＝2，项数n＝8.1．解决本例有两种思路：用等比数列的前n项和公式直接求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性强，有时使计算简便．2．等比数列前n项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝a1＋a2n＋1q1＋q(q≠1且q≠－1)．(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，求S9S6的值．【解】法一若q＝1，则S6＝6a1，S3＝3a1，∴S6S3＝2，这与已知矛盾，∴q≠1.∴由题设知a11－q61－qa11－q31－q＝3，即1＋q3＝3，∴q3＝2.∴S9S6＝a11－q91－qa11－q61－q＝1－231－22＝73.法二S6＝3S3.由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即S3,2S3，S9－3S3成等比数列．∴S9－3S3＝4S3，∴S9＝7S3，∴S9S6＝73.等差数列与等比数列的综合问题已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N＋，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.【思路探究】(1)由题意能得出a1，d的方程组吗？(2)如何求bm呢？【自主解答】(1)由已知得：5a1＋10d＝105，a1＋9d＝2a1＋4d，解得a1＝7，d＝7.所以数列{an}的通项公式为an＝7＋(n－1)·7＝7n(n∈N＋)．(2)由an＝7n≤72m，得n≤72m－1.即bm＝72m－1.∵bk＋1bk＝72k＋172k－1＝49，∴{bm}是首项为7，公比为49的等比数列．∴Sm＝71－49m1－49＝748(49m－1)．等差数列与等比数列综合问题的解决策略一般不能直接套用公式，先对已知条件进行变形转化，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式或性质解题．上例(2)中若是求{2an}的前n项和应如何求解？【解】由①知2an＝27n，∴{2an}是以27为首项.27为公比的等比数例，其前n项和为271－27n1－27.等差、等比数列的实际应用某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到万元，1.110≈2.594,1.310≈13.786)【思路探究】(1)两种方案分别属于什么数列模型？(2)你能建立不同数列模型进行比较吗？【自主解答】方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9.所以S10＝1.310－11.3－1≈42.62(万元)．又贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)，甲方案净获利42．62－25.94≈16.7(万元)．乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为12，前10项和为T10＝1＋1＋12＋1＋2×12＋…＋1＋9×12＝10112＋12＝32.50(万元)，而贷款本息总数为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×1.110－11.1－1≈17.53(万元)，乙方案净获利32．50－17.53≈15.0(万元)．比较两方案可得甲方案获利较多．1．解决本题的关键是分清甲、乙两个方案属于等差数列模型还是等比数列模型．2．等差、等比数列的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．3．将实际问题转化为数列问题时应注意：①分清是等差数列还是等比数列；②分清是求an还是求Sn，特别是要准确确定项数n；③递推关系的发现是数列建模的关键．4．解数列应用题的思路方法如图所示．某市2012年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2012年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.084≈1.36,1.085≈1.47，1.086≈1.59)【解】(1)设每年新建中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列．其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋nn－12×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n＝4750，即n2＋9n－190＝0，而n∈N*，则n＝10.故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列．其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an0.85bn，则有250＋(n－1)×50400×1.08n－1×0.85，即5n＋2034×1.08n－1，则n≥6.故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.分类讨论思想(12分)x＋1y＋x2＋1y2＋…＋xn＋1yn(xy≠0)．【思路点拨】式子中均由两项组成，显然不是等比数列．如果将括号去掉，且重新组合，会得到x＋x2＋…＋xn与1y＋1y2＋…＋1yn两个等比数列的n项和，它们的公比x，1y是否为1不确定，故需分x＝1且y＝1；x＝1，y≠1；x≠1，y＝1与x≠1，y≠1四种情况讨论．【规范解答】设Sn＝x＋1y＋x2＋1y2＋…＋xn＋1yn，则Sn＝(x＋x2＋…＋xn)＋1y＋1y2＋…＋1yn，4分当x＝1，y＝1时，Sn＝2n.6分当x＝1，y≠1时，Sn＝n＋1y－1yn＋11－1y＝n＋yn－1yn＋1－yn.8分当x≠1，y＝1时，Sn＝x－xn＋11－x＋n.10分当x≠1，y≠1时，Sn＝x－xn＋11－x＋yn－1yn＋1－yn.12分(1)本题通过拆项，转化为两个等比数列分别求和．(2)在公比q不确定是否为1时，需分情况讨论．1．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．2．在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质，与等比数列前n项和有关的常用的性质有：①连续m项和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(注意此连续m项的和必须非零才成立)；②{an}为等比数列，且q≠1⇔Sn＝－Aqn＋A(A≠0)．用好性质会降低解题的运算量，从而减少错误．3．解决有关数列模型的实际问题时，关键是弄懂题意，确定数列的类型及所求的基本量.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为()A.2n＋1－13B.2n＋1－23C.22n－13D.22n－23【解析】依题意，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1，an＝2n－1也适合a1，因此，an＝2n－1，an＋1an＝2，数列{an}是等比数列，数列{an}的奇数项的前n项和为1×1－22n1－22＝22n－13，选C.【答案】C2．在由正数组成的等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝________.【解析】∵{an}成等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)，∴a5＋a6＝421＝16.【答案】163．等比数列{an}有前n项和为Sn，S2＝4，S4＝40，则S6＝________.【解析】∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，∴(40－4)2＝4(S6－40)，解得S6＝364.【答案】3644．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍