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服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测课堂互动探究教师备选资源1．1.3导数的几何意义●三维目标1．知识与技能理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-22．过程与方法通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力．并通过对问题的探究体会逼近、类比、由己知探讨未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观让学生在观察、思考、发现中学习，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2●重点难点重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问题．难点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2课标解读1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【问题导思】如图1－1－5所示，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4，……)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．图1－1－5服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．割线PPn的斜率kn是多少？【提示】割线PPn的斜率kn＝f（xn）－f（x0）xn－x0.2．当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？【提示】kn无限趋近于切线PT的斜率k.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-22．导数的几何意义曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为_______________________________________________．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2求曲线在某点处的切线方程已知曲线C：y＝13x3＋43.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【思路探究】(1)先求切点坐标，再求y′|x＝2，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C的方程联立求解．【自主解答】(1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4.∴切点P(2，4)．y′|x＝2＝ΔyΔx＝13（2＋Δx）3＋43－13×23－43Δx＝[4＋2Δx＋13(Δx)2]＝4.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由y＝4x－4，y＝13x3＋43，可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0.解得x1＝2，x2＝－4.从而求得公共点为P(2，4)或M(－4，－20)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2已知曲线y＝2x2＋2，用切线斜率的定义求曲线过点P(1，2)的切线方程．【解】∵Δy＝2（1＋Δx）2＋2－2，∴ΔyΔx＝2（1＋Δx）2＋2－2Δx，∴k＝ΔyΔx＝2（1＋Δx）2＋2－2Δx服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2＝2（Δx）2＋4ΔxΔx（2（1＋Δx）2＋2＋2）＝2Δx＋42（1＋Δx）2＋2＋2＝1.故曲线经过P(1，2)的切线方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2已知抛物线y＝2x2＋1.求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?求函数的平均变化率【思路探究】设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程→求出点的坐标服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【自主解答】设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.∴f′(x0)＝(4x0＋2Δx)＝4x0，(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，该点为14，98.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1，3)．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2根据切线斜率求切点坐标的步骤：(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f′(x)；(3)求切线的斜率f′(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2本例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?【解】∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直．∴抛物线的切线的斜率为8.由本例知f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9.即所求点坐标为(2，9).服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2已知曲线C：f(x)＝x2＋1，求过点P(0，0)且与曲线C相切的切线l的方程．【思路探究】点P不是切点，故可设出切点P0的坐标，并用其表示出切线l的方程，然后利用切点在曲线上和点P在切线上，建立P0点坐标的方程组，解出点P0后进一步求切线方程．求函数的平均变化率服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【自主解答】设切点P0(x0，y0)，则f′(x0)＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝（x0＋Δx）2＋1－（x20＋1）Δx＝(2x0＋Δx)＝2x0，故曲线C在点P0处的切线l方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即l：y－y0＝2x0x－2x20.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2又P0在C上，即y0＝x20＋1，∴l为：y－x20－1＝2x0x－2x20.又切线l过点P(0，0)，故－x20－1＝－2x20，∴x20＝1，即x0＝±1，当x0＝－1时，切线l的方程为y－(－1)2－1＝－2x－2(－1)2，即y＝－2x.当x0＝1时，切线l的方程为y－12－1＝2x－2×12，即y＝2x.所以过点P(0，0)且与曲线C相切的切线方程为y＝－2x或y＝2x.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．本题中的切线l的方程y－x20－1＝2x0(x－x0)具有一般性，即它代表了曲线C上任意一点处的切线方程．2．求过曲线y＝f(x)外点P(x1，y1)的切线的步骤(1)设切点(x0，f(x0))．(2)利用所设切点求斜率k＝ΔyΔx.(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．【解】y′＝ΔyΔx＝（x＋Δx）2－x2Δx＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)．∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x20，又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0，∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为y0－5x0－3＝x20－5x0－3.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2∴2x0＝x20－5x0－3，解之得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)．当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2求函数y＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．混淆曲线“在某点”和“过某点”的切线致误【错解】∵Δy＝f(Δx)－f(0)＝(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，∴ΔyΔx＝1－3Δx＋(Δx)2，∴f′(0)＝[1－3Δx＋(Δx)2]＝1.故所求切线方程为y＝x.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【错因分析】本题中原点在函数的图象上，误认为原点就是切点，混淆了“过原点的切线”与“在原点处的切线”的区别，导致解题失误．【防范措施】求曲线的切线时，注意区分“求曲线y＝f(x)上过点M的切线”与“求曲线y＝f(x)上在点M处的切线”，前者只要求切线过M点，M点未必是切点，因此求解时应先设出切点坐标；而后者则很明确，切点就是M点．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【正解】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋x0，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x30－3x20＋x0)＝3x20Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，∴f′(x0)＝ΔyΔx＝3x20－6x0＋1.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2∴切线方程为y－(x30－3x20＋x0)＝(3x20－6x0＋1)·(x－x0)．∵切线过原点，∴x30－3x20＋x0＝3x30－6x20＋x0，即2x30－3x20＝0，∴x0＝0或x0＝32，故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程．已知点(x0，y0)为切点，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线过点(x0，y0)的切线方程．已知点(x0，y0)不论在不在曲线上都不一定是切点，故先设出切点坐标，写出切线方程，然后利用已知点(x0，y0)在切线上，求出切点坐标．进而求出切线方程．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-23．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行或重合；若f′(x0)0，则切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行或重合．4．根据导数的几何意义知，f′(x0)能反应曲线在x＝x0处的升降及升降快慢程度，f′(x0)为正值，曲线在该点处上升，f′(x0)为负值，曲线在该点处下降，|f′(x0)|越大，曲线在该点升降速度越快．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4B．－4C．－2D．2【解析】由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.【答案】D服/务/教/师免/费/馈/赠返回