福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第6讲 函数的性质(二)――周期性、对称性

理解函数的周期性与对称性的概念，能综合运用函数的性质解题．()()(2)______()()______.1fxfaxfaxfxfaxfxfaxfbxfx如果函数满足＋=-或=-，则函数的图象关于直线①对称．一般的，若＋=-，则函数的对称轴方．函数的对程称性是②________()()(0)____2_.yfxxDTxDfxTyfxfxxfxafxfxaafx函数的周期性的定义：设函数＝，，若存在非零常数，使得对任意的都有③，则函数为周期函数，为＝的一个周期．若函数对定义域中任意满足＋＝－或＋＝－，则函数是周期函数，它的一．函数的周期性个周期是④2()2abxaxfxTfxa＋①＝；②＝；③【＋点＝指南；④要】1.函数f(x)＝2x2－5x＋1的对称轴方程为x＝54.【解析】二次函数对称轴方程为x＝－b2a＝－－52×2＝54.2.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(－1)＝1，则f(2010)－f(2011)＝()A．－1B．1C．－2D．2【解析】由f(x)是R上周期为5的奇函数，则f(0)＝0且满足f(2010)＝f(0)＝0，f(2011)＝f(5×402＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.故f(2010)－f(2011)＝1.3.函数f(x)＝4x＋12x的图象()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称【解析】因为f(x)＝4x＋12x＝2x＋2－x，所以f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，即f(x)为偶函数，故图象关于y轴对称，故选C.4.设f(x)满足f(x＋32)＝－f(x)，且f(x)是奇函数．若f(1)1，f(2)＝a，则下列结论正确的是()A．a2B．a－2C．a1D．a－1【解析】由已知得f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期是3，且是奇函数，所以a＝f(2)＝f(3－1)＝f(－1)＝－f(1)－1，选D.5.若函数f(x)在(4，＋∞)上是减函数，且对任意x∈R，有f(4＋x)＝f(4－x)，则()A．f(2)f(3)B．f(2)f(5)C．f(3)f(5)D．f(3)f(6)【解析】由已知，f(x)的对称轴方程是x＝4，所以f(3)＝f(5)f(6)．一函数周期性及其应用【例1】已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；(3)若当x∈[0,2]时，f(x)＝x，试求x∈[4,8]时函数f(x)的解析式．【解析】(1)由题意f(x)≠0，则f(x＋2)＝13fx.用x＋2代替x得f(x＋4)＝13fx＋2＝f(x)，故y＝f(x)为周期函数，且周期为4.(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝13f1＝132.(3)当x∈[4,6]时，x－4∈[0,2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.当x∈[6,8]时，x－6∈[0,2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x－6)＝f(x－2)＝x－6.又根据已知f(x)·f(x＋2)＝13，得f(x＋2)＝13fx，所以f(x)＝13fx＋2＝13fx－2＝13x－6.所以解析式为f(x)＝x－44≤x≤613x－66x≤8.【点评】本题存在规律性：①若f(x＋a)·f(x)＝b(常数)，则f(x)的周期为2a(a0)；同理，②f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝1fx，f(x＋a)＝－1fx，可推得周期T＝2a(a0)；③若f(x)为奇函数，且关于直线x＝a对称，则其周期T＝4a(a0)；若f(x)为偶函数，又关于直线x＝a对称，则其周期T＝2a(a0)．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：①f(x)＝f(2－x)；②当0≤x≤1时，f(x)＝x2.(1)判断函数f(x)是否是周期函数；(2)求f(5.5)的值．素材1【解析】(1)由fx＝f2－xfx＝f－x⇒f(－x)＝f(2－x)⇒f(x)＝f(x＋2)⇒f(x)是周期为2的周期函数．(2)f(5.5)＝f(4＋1.5)＝f(1.5)＝f(0.5)＝0.25.二函数对称性及其应用【例2】(1)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)，若y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，则f(2015)＝()A．6B．4C．3D．2(2)(2012·锦阳一诊)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log12(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上()A．是增函数，且f(x)0B．是增函数，且f(x)0C．是减函数，且f(x)0D．是减函数，且f(x)0【解析】(1)由y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则y＝f(x)的图象关于直线x＝0(即y轴)对称，故y＝f(x)为偶函数，令x＝－2，则f(2)－f(－2)＝2f(2)，得f(2)＝0，所以f(x＋4)－f(x)＝0，故y＝f(x)的周期为4，故f(2015)＝f(504×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝2，故选D.(2)f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，由x∈(0,1)时，f(x)＝log12(1－x)是增函数且f(x)0，得函数f(x)在(2,3)上也为增函数且f(x)0，而直线x＝2为函数的对称轴，则函数f(x)在(1,2)上是减函数，且f(x)0，故选D.【点评】(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)，则周期为T(T0)；(2)函数的奇偶性、周期性、对称性三者中知二推一，综合应用；(3)函数性质与函数图象息息相通、互相补充，用于解题．设函数f(x)定义域为R，且其图象关于直线x＝2对称，同时关于直线x＝7对称，在区间[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断y＝f(x)的奇偶性；(2)求f(23)的值．素材2【解析】(1)因为f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0，所以f(0)≠0，故f(x)不是奇函数．又因为f(x)关于x＝2对称，所以f(2－x)＝f(2＋x)，则f(－1)＝f(5)≠0.而f(1)＝0，所以f(－1)≠f(1)，故f(x)不是偶函数，因此f(x)是非奇非偶函数．(2)因为f(x)关于直线x＝2及x＝7对称，则对任意x∈R有f(4＋x)＝f(－x)，f(14＋x)＝f(－x)，所以f(4＋x)＝f(14＋x)，即f(x＋10)＝f(x)，所以f(x)是以10为周期的周期函数．所以f(23)＝f(10×2＋3)＝f(3)＝0.三函数性质的综合应用【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋…＋f(2011)的值．【解析】(1)f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数．(2)x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，f(－x)＝－2x－x2，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，所以f(x)＝2x＋x2，当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝2(x－4)＋(x－4)2，因为f(x)以4为周期，所以f(x－4)＝f(x)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.(3)由(1)、(2)可知f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝503×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0.设函数f(x)＝x＋1x的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)当直线y＝m与C2只有一个交点时，求实数m的值，并求出公共点坐标．素材3【解析】(1)设点P(x′，y′)，Q(x，y)分别为f(x)和g(x)的图象上的任意一点，且P，Q关于点A对称，则x′＋x2＝y′＋y2＝1，所以x′＝4－xy′＝2－y.于是，2－y＝4－x＋14－x，得y＝x＋1x－4－2，即函数g(x)的解析式为y＝x＋1x－4－2.(2)直线y＝m与C2只有一个交点，即方程m＝x＋1x－4－2只有一个解，化简方程得x2－(6＋m)x＋4m＋9＝0，则Δ＝[－(6＋m)]2－4(4m＋9)＝m2－4m＝0，解得m＝0或m＝4.当m＝0时，x＝3，公共点坐标为(3,0)；当m＝4时，x＝5，公共点坐标为(5,4)．备选例题若函数y＝f(x)关于点(a，b)成中心对称，则一定有f(x)＋f(2a－x)＝2b；反之，也成立；试探究函数f(x)＝5×2x－12x＋1的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．【解析】假设函数f(x)存在对称中心，设其坐标为(h，k)，则对任意x∈R有f(h＋x)＋f(h－x)＝2k恒成立，即5×2h＋x－12h＋x＋1＋5×2h－x－12h－x＋1＝2k，整理得(4－2k)×2h＋x＋(4－2k)×2h－x＋[(10－2k)×22h－2－2k]＝0，于是有4－2k＝010－2k×22h－2－2k＝0，解之得h＝0，k＝2，故y＝f(x)的对称中心为(0,2)．1(0)213ZTfxkTkkfxfxyfxfxyfx．若是的一个周期，则，也是的周期．．若函数存在两条平行于轴的对称轴，则函数是周期函数；若函数具有奇偶性，又有一条平行于轴的对称轴，则函数是周期函数．．注意函数性质的逆向应用．