福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第8讲 指数与指数函数

理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象．*1________(1)________________.__________________________________________.21nnxaxannnnnannanananN一般的，如果＝，那么叫做的①且，当为奇数时，正数的次方根是一个②，负数的次方根是一个③这时的次方根记为④；当为偶数时，正数的次方根有两个，可用符号⑤表示，其中叫做⑥，这里的叫做⑦，叫做⑧当为．根式奇数时，______00nnnnaanaaaaa＝；当为偶数时，＝⑨＝－**1_____(01)2____(01)30001_______(0)2_______02)3(mnmnrssraamnnaamnnaaarsaarsNNQQ－我们规定正数的正分数指数幂的意义是：＝⑩，、，．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规定＝，，，．的正分数指数幂等于；的负分数指数幂没有意义．＝，、；．分数指数幂．有理数指数幂的，、性＝质；3_______(00)rababrQ＝，，．1______(01)______________.24xaaxya一般的，函数，且叫做指数函数，其中是，函数的定义域是指数．函数＝的图象与指数性质函数及性质如下表：【要点指南】1.(1)化简(315)0－(0.01)0.5＝910；(2)下列各式正确的是()A.6－22＝(－2)13B.34＝213C.3a2＋b2＝(a＋b)23D．(ab)5＝a5·b15【解析】(1)(315)0－(0.01)0.5＝1－(1100)12＝1－110＝910.(2)34＝32＝213.2.函数y＝ax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为()A.12B.32C.12或32D．以上全不对【解析】当a1，y＝ax递增，所以a2－a＝a2，解得a＝32；当0a1，y＝ax递减，所以a－a2＝a2，解得a＝12.故选C.3.已知函数f(x)＝3＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标为()A．(1,4)B．(1,3)C．(0,4)D．(0,3)【解析】当x＝1时，a0＝1，则f(1)＝4，即定点P的坐标为(1,4)．4.将指数函数f(x)的图象向右平移一个单位，得到如图所示的g(x)的图象，则f(x)＝()A．2xB．3xC．(12)xD．(13)x【解析】设f(x)＝ax，则g(x)＝ax－1，由g(x)的图象过(2,2)点可知，a2－1＝2，所以a＝2，所以f(x)＝2x.5.设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则()A．y3y2y1B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y2【解析】幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底．y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝(12)－1.5＝21.5.又因为y＝2x在R上是单调增函数，1.81.51.44，所以y1y3y2.一有关指数幂的运算问题【例1】计算：(1)(0.027)－13－(－17)－2＋(279)12－(2－1)0；(2)(14)－12·4ab－130.1－2·a3b－312【解析】(1)原式＝(271000)－13－(－7)2＋(259)12－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a32·a－32·b32·b－32＝425a0b0＝425.【点评】进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并能灵活运用．一般进行分数指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要特别注意运算顺序问题．化简下列各式：(1)(0.0081)－14－[3×(78)0]－1·[81－0.25＋(278)－13]－12－10×0.02713；(2)3a32·a－3÷3a－7·3a13.素材1【解析】(1)(0.0081)－14－[3×(78)0]－1·[81－0.25＋(278)－13]－12－10×0.02713＝[(0.3)4]－14－3－1{(34)－14＋[(32)3]－13}－12－10×[(0.3)3]13＝0.3－1－3－1[3－1＋(32)－1]－12－3＝103－13(13＋23)－12－3＝103－13－3＝0.(2)原式＝3a32·a－32÷a－73·a133＝3a0÷a2＝1a.二指数函数的图象及应用【例2】已知函数y＝(13)|x＋1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)若曲线y＝f(x)与直线y＝b没有公共点，求b的取值范围．【解析】(1)方法1：由函数解析式可得y＝(13)|x＋1|＝13x＋1x≥－13x＋1x－1，其图象由两部分组成．一部分是y＝(13)x(x≥0)――→向左平移1个单位y＝(13)x＋1(x≥－1)，另一部分是y＝3x(x0)――→向左平移1个单位y＝3x＋1(x－1)，如下图所示．方法2：将y＝(13)|x|向左平移1个单位，即可得y＝(13)|x＋1|的图象，如图．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．(3)由图象可知(13)|x＋1|∈(0,1]，要使直线y＝b与曲线y＝f(x)无交点，则b的取值范围为(－∞，0]∪(1，＋∞)．【点评】1.画指数函数y＝ax的图象，应抓住三个关键点(1，a)，(0,1)，(－1，1a)，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．2．复合函数的值域可采用换元法，结合中间变量的范围求函数的值域；复合函数y＝f(x)的单调性要根据y＝au，u＝f(x)两函数在相应区间上的单调性确定，遵循“同增异减”的规律．(1)设函数f(x)＝a－|x|(a0且a≠1)，若f(2)＝4，则a＝12，f(－2)与f(1)的大小关系是f(－2)f(1)；素材2(2)函数y＝xax|x|(0a1)的图象的大致形状是()【解析】(1)由f(2)＝4，得a－2＝4，所以a＝12，f(x)＝(12)－|x|＝2|x|，f(－2)＝2|－2|＝2221＝f(1)．(2)函数的定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝xax|x|＝axx0－axx0.当x0时，函数是一个指数函数，其底数满足0a1，所以函数递减；当x0时，函数的图象与y＝ax(0a1)的图象(x0的部分)关于x轴对称，呈递增趋势，所以应选D.三指数函数的性质及应用【例3】(2011·上海卷)已知f(x)＝a×2x＋b×3x，其中常数a、b满足ab≠0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x＋1)f(x)时的x的取值范围．【解析】(1)当a0，b0时，因为a×2x，b×3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，b0时，因为a×2x，b×3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．(2)f(x＋1)－f(x)＝a×2x＋2b×3x0，(ⅰ)当a0，b0时，原不等式等价于(32)x－a2b，又y＝(32)x单调递增，－a2b0，所以xlog32(－a2b)；(ⅱ)当a0，b0时，原不等式等价于(32)x－a2b，同理解得xlog32(－a2b)．【点评】与指数函数有关的单调性问题，一定要注意底数a的取值范围对单调性的影响．本题中还要关注的是前面含参系数的符号对单调性的影响．(1)若直线y＝2a与y＝|ax－1|(a0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a∈(0，12)；(2)已知f(x)＝(1ax－1＋12)x，x≠0，若f(x)0在定义域内恒成立，则a的取值范围为(1，＋∞).素材3【解析】(1)数形结合法．当a1时，作图知无解；当0a1时，作图知02a1⇒0a12.(2)f(x)＝xax＋12ax－10⇔x(ax－1)0.当x0时，ax－10⇔axa0，又x0，所以a1；当x0时，ax－10⇔axa0，又x0，所以a1.综上，a的取值范围为(1，＋∞)．备选例题讨论函数f(x)＝(12)x2－2x的单调性，并求其值域．【解析】因为函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，y＝(12)u，因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，又y＝(12)u在其定义域上为减函数，所以f(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，底数12∈(0,1)，所以0(12)x2－2x≤(12)－1＝2，即函数f(x)的值域为(0,2]1201xyaaa．分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算．在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序．．指数函数＝的底数须满足条件且，研究几个指数函数尽量化为同底．31124．指数函数的性质主要是单调性，比较大小是单调性的一个重要应用，比较时注意底数与的大小分类讨论．若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性来比较；若底数、指数均不相同，则可引入中间量或画图象来比较．．利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用．